4個のサイコロを同時に投げるとき、以下の確率を求めます。 (1) 4個とも異なる目が出る確率 (2) 出る目の最小値が2となる確率 (3) 出る目の最小値が2であるという条件のもとで、少なくとも1個のサイコロに5の目が出る条件付き確率

1. 問題の内容

4個のサイコロを同時に投げるとき、以下の確率を求めます。

(1) 4個とも異なる目が出る確率

(2) 出る目の最小値が2となる確率

(3) 出る目の最小値が2であるという条件のもとで、少なくとも1個のサイコロに5の目が出る条件付き確率

2. 解き方の手順

(1) 4個とも異なる目が出る確率

* 全ての目の出方は $6^4 = 1296$ 通りです。

* 4個とも異なる目が出る出方は $6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ 通りです。

* よって、確率は $\frac{360}{1296} = \frac{5}{18}$ です。

(2) 出る目の最小値が2となる確率

* 最小値が2であるとは、全ての目が2以上で、かつ少なくとも1つは2であるということです。

* 全ての目が2以上になるのは、各サイコロが2, 3, 4, 5, 6のいずれかの目が出る場合なので、 $5^4 = 625$ 通りです。

* 全ての目が3以上になるのは、各サイコロが3, 4, 5, 6のいずれかの目が出る場合なので、$4^4 = 256$ 通りです。

* したがって、最小値が2となるのは、$5^4 - 4^4 = 625 - 256 = 369$ 通りです。

* よって、確率は $\frac{369}{1296} = \frac{41}{144}$ です。

(3) 出る目の最小値が2であるという条件のもとで、少なくとも1個のサイコロに5の目が出る条件付き確率

* 事象A: 出る目の最小値が2である

* 事象B: 少なくとも1個のサイコロに5の目が出る

* 求める条件付き確率は $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ です。

* $P(A) = \frac{369}{1296} = \frac{41}{144}$ (上記で計算済み)

* $A \cap B$: 出る目の最小値が2であり、かつ少なくとも1つのサイコロが5の目が出る。

* $P(A \cap B)$を求めるには、最小値が2で5を含む場合の数を求める必要があります。

* 全ての目が2以上で、5を含まない場合は、各サイコロが2,3,4,6のいずれかの目が出る場合なので$4^4=256$通り

* 全ての目が3以上で、5を含まない場合は、各サイコロが3,4,6のいずれかの目が出る場合なので$3^4=81$通り

* したがって、最小値が2かつ5を含むのは、$(5^4-4^4)-(4^4-3^4) = (625-256)-(256-81)=369-175 = 194$ とすると誤り. なぜなら、少なくとも一つは2の目が出ている条件が必要.

* 最小値が2で、かつ5を含む確率 = (全ての目が2以上で5を含む) - (全ての目が3以上で5を含む) = $(5^4 - 4^4) - (4^4-3^4) = \frac{369}{1296} - \frac{175}{1296} = \frac{194}{1296}$ では、計算がややこしくなるので別の方法を考える。

* 全ての目が2以上で最小値が2であるという事象をAとする。

* このとき、少なくとも一つ5が含まれる事象をBとする。

* Aのなかで5が全く含まれない場合を考える。

* この場合、サイコロの目は2,3,4,6のいずれかとなる。このうち少なくとも一つ2が含まれている。

* 4^4 = 256通りの場合から、サイコロの目が3,4,6のみである場合を引けば良い。

* よって 4^4 - 3^4 = 256 - 81 = 175通り

* よって、P(AかつB) = (全事象) - (最小値2かつ5が含まれない) - (5を含まない最小値3以上) = 369 - 175 = 194

* $P(A \cap B) = \frac{194}{1296}$

* したがって、$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{194/1296}{369/1296} = \frac{194}{369}$

3. 最終的な答え

(1) 4個とも異なる目が出る確率は $\frac{5}{18}$

(2) 出る目の最小値が2となる確率は $\frac{41}{144}$

(3) 出る目の最小値が2であるとき少なくとも1個のさいころに5の目が出る条件付き確率は $\frac{194}{369}$