$\sqrt{2}$が無理数であることを用いて、$2 + \sqrt{2}$が無理数であることを背理法で証明する穴埋め問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{2}$が無理数であることを用いて、$2 + \sqrt{2}$が無理数であることを背理法で証明する穴埋め問題です。

2. 解き方の手順

まず、$2 + \sqrt{2}$が無理数でない、つまり有理数であると仮定します（ア）。すると、$2 + \sqrt{2}$は有理数である（イ）と言えます。この有理数を$x$とおくと、$2 + \sqrt{2} = x$が成り立ちます（ウ）。この式を変形して$\sqrt{2}$について解くと、$\sqrt{2} = x - 2$となります（エ）。$x$が有理数のとき、$x - 2$も有理数である（オ）ため、$\sqrt{2} = x - 2$という式は$\sqrt{2}$が無理数であることに矛盾します。したがって、$2 + \sqrt{2}$は無理数であると結論付けられます。

3. 最終的な答え

ア：$2 + \sqrt{2}$

イ：有理数

ウ：$2 + \sqrt{2}$

エ：$x - 2$

オ：有理数