命題「$x$ が無理数ならば、$x^2$ と $x^3$ の少なくとも一方は無理数である」の対偶を作り、それを利用して元の命題の真偽を判定します。

1. 問題の内容

命題「$x$ が無理数ならば、$x^2$ と $x^3$ の少なくとも一方は無理数である」の対偶を作り、それを利用して元の命題の真偽を判定します。

2. 解き方の手順

(1) 対偶を作る

元の命題は「$P$ ならば $Q$」の形をしています。ここで、$P$ は「$x$ が無理数」であり、$Q$ は「$x^2$ と $x^3$ の少なくとも一方は無理数である」です。命題 $Q$ を否定すると、「$x^2$ も $x^3$ も有理数である」となります。

したがって、元の命題の対偶は「$x^2$ と $x^3$ がともに有理数ならば、$x$ は有理数である」となります。

(2) 対偶の真偽を判定する

対偶「$x^2$ と $x^3$ がともに有理数ならば、$x$ は有理数である」が真であることを示します。

$x^2$ と $x^3$ がともに有理数であると仮定します。$x^2 \neq 0$ のとき、$x = \frac{x^3}{x^2}$ と表すことができます。有理数の商は有理数であるので、$x$ は有理数となります。

もし、$x^2 = 0$ であれば、$x=0$ となり、これは有理数です。したがって、$x^2$ と $x^3$ がともに有理数ならば、$x$ は有理数であることが言えます。

(3) 元の命題の真偽を判定する

対偶が真であるとき、元の命題も真となります。したがって、「$x$ が無理数ならば、$x^2$ と $x^3$ の少なくとも一方は無理数である」は真です。

3. 最終的な答え

命題「$x$ が無理数ならば、$x^2$ と $x^3$ の少なくとも一方は無理数である」は**真**である。

対偶:「$x^2$ と $x^3$ がともに有理数ならば、$x$ は有理数である」