$\sqrt{3}$ が無理数であることを用いて、$\frac{1}{\sqrt{3}+1}$ が無理数であることを証明する問題です。アからオに適切な語句や数式を挿入します。

1. 問題の内容

$\sqrt{3}$ が無理数であることを用いて、$\frac{1}{\sqrt{3}+1}$ が無理数であることを証明する問題です。アからオに適切な語句や数式を挿入します。

2. 解き方の手順

ア：$\frac{1}{\sqrt{3}+1}$ を無理数でないと仮定すると、つまり有理数と仮定すると、

イ：$\frac{1}{\sqrt{3}+1}$ は有理数である。

ウ：$\frac{1}{\sqrt{3}+1}=x$とおくと、両辺に$\sqrt{3}+1$をかけて、

$1 = x(\sqrt{3}+1)$

$1 = x\sqrt{3} + x$

エ：上記を変形して$\sqrt{3}$について解くと、

$x\sqrt{3} = 1 - x$

$\sqrt{3} = \frac{1-x}{x}$

オ：$x$が有理数のとき、$\frac{1-x}{x}$ は有理数である。これは $\sqrt{3}$ が無理数であることに矛盾する。

3. 最終的な答え

ア: $\frac{1}{\sqrt{3}+1}$

イ: 有理数

ウ: $1=x(\sqrt{3}+1)$

エ: $\frac{1-x}{x}$

オ: 有理数