$\sqrt{2}$が無理数であることを用いて、$\frac{1}{2-\sqrt{2}}$が無理数であることを証明する。

1. 問題の内容

$\sqrt{2}$が無理数であることを用いて、$\frac{1}{2-\sqrt{2}}$が無理数であることを証明する。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明する。

まず、$\frac{1}{2-\sqrt{2}}$が無理数でないと仮定する。つまり有理数であると仮定する。

$\frac{1}{2-\sqrt{2}}$を有理数 $x$ とおくと、

$\frac{1}{2-\sqrt{2}} = x$

$1 = x(2-\sqrt{2})$

$1 = 2x - x\sqrt{2}$

$x\sqrt{2} = 2x - 1$

$\sqrt{2} = \frac{2x-1}{x}$

$x$ が有理数のとき、$\frac{2x-1}{x}$ も有理数である。これは $\sqrt{2}$ が無理数であることに矛盾する。

したがって、$\frac{1}{2-\sqrt{2}}$ は無理数である。

3. 最終的な答え

ア：$\frac{1}{2-\sqrt{2}}$

イ：有理数

ウ：$\frac{1}{2-\sqrt{2}}$

エ：$\frac{2x-1}{x}$

オ：有理数