$\sqrt{6}$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{3} - \sqrt{2}$ が無理数であることを背理法により証明する問題です。$\sqrt{3} - \sqrt{2}$ が有理数と仮定したとき、矛盾が生じることを示します。

1. 問題の内容

$\sqrt{6}$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{3} - \sqrt{2}$ が無理数であることを背理法により証明する問題です。$\sqrt{3} - \sqrt{2}$ が有理数と仮定したとき、矛盾が生じることを示します。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ が有理数であると仮定します。

(2) この有理数を $r$ とおくと、$\sqrt{3} - \sqrt{2} = r$ と表せます。

(3) 両辺を2乗すると、$(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = r^2$ となります。

(4) 左辺を展開すると、$(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 - 2\sqrt{6} + 2 = 5 - 2\sqrt{6}$ となります。

(5) よって、$5 - 2\sqrt{6} = r^2$ となります。

(6) これを整理すると、$2\sqrt{6} = 5 - r^2$ となります。

(7) 両辺を2で割ると、$\sqrt{6} = \frac{5 - r^2}{2}$ となります。

(8) $r$ は有理数なので、$\frac{5 - r^2}{2}$ は有理数となります。しかし、$\sqrt{6}$ は無理数であると仮定されているので、これは矛盾です。

(9) よって、$\sqrt{3} - \sqrt{2}$ は無理数であることが証明されました。

3. 最終的な答え

ア：有理数

イ：有理数

ウ：$\frac{5-r^2}{2}$