$\sqrt{3}$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{3} + \sqrt{5}$ が無理数であることを背理法により証明する問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{3}$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{3} + \sqrt{5}$ が無理数であることを背理法により証明する問題です。

2. 解き方の手順

ア. $\sqrt{3} + \sqrt{5}$ が有理数であると仮定します。

イ. $\sqrt{3} + \sqrt{5} = r$ とおきます ($r$ は有理数)。

この式を変形します。

$\sqrt{5} = r - \sqrt{3}$

両辺を2乗します。

$(\sqrt{5})^2 = (r - \sqrt{3})^2$

$5 = r^2 - 2r\sqrt{3} + 3$

$2r\sqrt{3} = r^2 - 2$

ここで、$r \neq 0$ である必要があります。なぜなら、$r = 0$ ならば $\sqrt{3} + \sqrt{5} = 0$ となり矛盾するからです。したがって、両辺を $2r$ で割ることができます。

$\sqrt{3} = \frac{r^2 - 2}{2r}$

ウ. 左辺の $\sqrt{3}$ は無理数ですが、右辺の $\frac{r^2 - 2}{2r}$ は有理数であるため矛盾が生じます。

したがって、$\sqrt{3} + \sqrt{5}$ が有理数であるという仮定が誤りであったことが示されました。

3. 最終的な答え

ア：有理数

イ：有理数

ウ：$\frac{r^2 - 2}{2r}$