$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}}$ が無理数であることを背理法により証明する。

1. 問題の内容

$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}}$ が無理数であることを背理法により証明する。

2. 解き方の手順

背理法を用いるため、まず $\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}}$ が有理数であると仮定する。つまり、ある有理数 $r$ を用いて

$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = r$

と表せるとする。

次に、この式を変形して $\sqrt{2}$ について解く。

$\frac{1}{\sqrt{2}} = r - \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\frac{1}{2} = (r - \frac{1}{\sqrt{3}})^2$

$\frac{1}{2} = r^2 - \frac{2r}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3}$

$\frac{2r}{\sqrt{3}} = r^2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = r^2 - \frac{1}{6}$

$\frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{6r^2 - 1}{6}$

$\sqrt{3} = \frac{12r}{6r^2 - 1}$

$\sqrt{3} = \frac{12r}{6r^2 - 1}$ より $r$ は有理数なので、$\frac{12r}{6r^2 - 1}$ も有理数となり、$\sqrt{3}$が無理数であることに矛盾する。

次に， $\frac{1}{\sqrt{2}} = r - \frac{1}{\sqrt{3}}$を変形する。

$\frac{1}{\sqrt{2}} - r = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$(\frac{1}{\sqrt{2}} - r)^2 = \frac{1}{3}$

$\frac{1}{2} - \frac{2r}{\sqrt{2}} + r^2 = \frac{1}{3}$

$\frac{2r}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} + r^2 - \frac{1}{3} = r^2 + \frac{1}{6} = \frac{6r^2 + 1}{6}$

$\sqrt{2} = \frac{12r}{6r^2 + 1}$

ここで $r$ は有理数であるから、$\frac{12r}{6r^2 + 1}$ も有理数となり、$\sqrt{2}$ が無理数であることに矛盾する。

3. 最終的な答え

ア: 有理数

イ: r

ウ: $\frac{12r}{6r^2+1}$