$\sqrt{11 + 4\sqrt{6}}$ を計算して簡単にしてください。

1. 問題の内容

$\sqrt{11 + 4\sqrt{6}}$ を計算して簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、$4\sqrt{6}$ を $2\sqrt{a}\sqrt{b}$ の形に変形します。

$4\sqrt{6} = 2 \cdot 2\sqrt{6} = 2 \sqrt{4} \sqrt{6} = 2 \sqrt{24}$

$\sqrt{ }$の中の数を変形してルートを外せるようにするために、$11 + 4\sqrt{6} = (a+b) + 2\sqrt{ab}$ の形にすることを考えます。つまり、$a+b = 11$ かつ $ab = 24$ となる $a$ と $b$ を探します。

$ab = 24$を満たす整数の組み合わせは $(1, 24)$, $(2, 12)$, $(3, 8)$, $(4, 6)$ などですが、$a+b = 11$ を満たすのは $3$ と $8$ です。

したがって、$a=3$、$b=8$ とすると、

$11 + 4\sqrt{6} = 3 + 8 + 2\sqrt{3}\sqrt{8} = 3 + 8 + 4\sqrt{6}$

ここで、$4\sqrt{6}$ を $2\sqrt{ab}$ の形にするのをやめて、 $4\sqrt{6} = 2 \cdot 2\sqrt{6} = 2\sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{24}$ の形にしたのは間違いでした。

正しくは、$11 + 4\sqrt{6} = 11 + 2(2\sqrt{6}) = 11 + 2\sqrt{4}\sqrt{6} = 11 + 2\sqrt{24}$

これはうまくいかないので、$4\sqrt{6}$ のまま考えます。

$11 + 4\sqrt{6} = 8 + 3 + 2 \cdot 2 \sqrt{6} = (2\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 + 2(2\sqrt{2})(\sqrt{3})$

というように変形しようとしても、うまくいきません。

ここで、 $a+b=11$ および $ab = (2\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24$ となる $a, b$ を探します。

$a=8$, $b=3$ とすると、$a+b=8+3=11$, $ab = 8\cdot 3=24$ となるので、

$\sqrt{11+4\sqrt{6}} = \sqrt{8+3+2\sqrt{8\cdot 3}} = \sqrt{(\sqrt{8}+\sqrt{3})^2} = \sqrt{(2\sqrt{2}+\sqrt{3})^2} = 2\sqrt{2} + \sqrt{3}$.

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2} + \sqrt{3}$