有理数 $a, b, c, d$ と無理数 $\sqrt{3}$ に対して、$a + b\sqrt{3} = c + d\sqrt{3}$ ならば $a=c$ かつ $b=d$ であることを背理法で証明する問題です。

1. 問題の内容

有理数 $a, b, c, d$ と無理数 $\sqrt{3}$ に対して、$a + b\sqrt{3} = c + d\sqrt{3}$ ならば $a=c$ かつ $b=d$ であることを背理法で証明する問題です。

2. 解き方の手順

背理法を用いるので、$a=c$ かつ $b=d$ でない、つまり、$a \ne c$ または $b \ne d$ であると仮定します。（ア）

式 $(b-d)\sqrt{3} = c-a$ より、$\sqrt{3}$ について解くと、

$$\sqrt{3} = \frac{c-a}{b-d}$$

となります。（イ）

$a, b, c, d$ が有理数であるとき、$\frac{c-a}{b-d}$ は有理数になります。

しかし、$\sqrt{3}$ は無理数であるため、矛盾が生じます。

したがって、$a=c$ かつ $b=d$ であることが示されます。（ウ）

3. 最終的な答え

ア：$a \ne c$ または $b \ne d$

イ：$\frac{c-a}{b-d}$

ウ：$a=c$ かつ $b=d$