2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a, b$ ($a < b$) とする。 (1) $a, b$ の値をそれぞれ求める。 (2) $a^2 + b^2, \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値をそれぞれ求める。 (3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le |\frac{b}{a}|$ を解き、さらに、不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le |\frac{b}{a}|$ と $k \le x \le k+3$ をともに満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a, b$ ($a < b$) とする。

(1) $a, b$ の値をそれぞれ求める。

(2) $a^2 + b^2, \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値をそれぞれ求める。

(3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le |\frac{b}{a}|$ を解き、さらに、不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le |\frac{b}{a}|$ と $k \le x \le k+3$ をともに満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ を解の公式を用いて解く。

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$

$a < b$ より、 $a = 2 - \sqrt{6}, b = 2 + \sqrt{6}$

(2)

$a^2 + b^2 = (2 - \sqrt{6})^2 + (2 + \sqrt{6})^2 = (4 - 4\sqrt{6} + 6) + (4 + 4\sqrt{6} + 6) = 10 - 4\sqrt{6} + 10 + 4\sqrt{6} = 20$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{(2-\sqrt{6})^2 + (2+\sqrt{6})^2}{(2-\sqrt{6})(2+\sqrt{6})} = \frac{20}{4 - 6} = \frac{20}{-2} = -10$

(3)

不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le |\frac{b}{a}|$ を解く。

$|\frac{b}{a}| = |\frac{2+\sqrt{6}}{2-\sqrt{6}}| = |\frac{(2+\sqrt{6})^2}{(2-\sqrt{6})(2+\sqrt{6})}| = |\frac{4 + 4\sqrt{6} + 6}{4-6}| = |\frac{10+4\sqrt{6}}{-2}| = |-5 - 2\sqrt{6}| = 5+2\sqrt{6}$

$\frac{a}{b} = \frac{2-\sqrt{6}}{2+\sqrt{6}} = \frac{(2-\sqrt{6})^2}{(2+\sqrt{6})(2-\sqrt{6})} = \frac{4 - 4\sqrt{6} + 6}{4 - 6} = \frac{10 - 4\sqrt{6}}{-2} = -5 + 2\sqrt{6}$

$|x - (-5 + 2\sqrt{6})| \le 5 + 2\sqrt{6}$

$-5 - 2\sqrt{6} \le x + 5 - 2\sqrt{6} \le 5 + 2\sqrt{6}$

$-5 - 2\sqrt{6} - 5 + 2\sqrt{6} \le x \le 5 + 2\sqrt{6} - 5 + 2\sqrt{6}$

$-10 \le x \le 4\sqrt{6}$

$4\sqrt{6} = \sqrt{16 \times 6} = \sqrt{96}$

$\sqrt{81} = 9 < \sqrt{96} < \sqrt{100} = 10$

よって、$9 < 4\sqrt{6} < 10$

整数 $x$ は $-10 \le x \le 9$ の範囲にある。

不等式 $k \le x \le k+3$ と $-10 \le x \le 4\sqrt{6}$ をともに満たす整数 $x$ がちょうど2個存在する。

$k \le x \le k+3$ の範囲に整数が2個だけ存在するためには、

$9 < k+3 \le 10$ または $-11 \le k < -10$ でなければならない。

$9 < k+3 \le 10 \Leftrightarrow 6 < k \le 7$

$-11 \le k < -10$

$k = 6.1$ のとき、$6.1 \le x \le 9.1$。この範囲に含まれる整数は $7, 8, 9$ の3つであるため不適。

$k \le x \le k+3$の範囲に $-10 \le x \le 4\sqrt{6}$の範囲の整数が2つのみ含まれれば良い。

$6 < 4\sqrt{6} < 7$, $k \le 6$, $k+3 \ge 6$かつ$k \le 7$, $k+3 \ge 7$

$x = 8, 9$ が含まれる場合、$6 < k \le 7$。整数は $k = 7$ となる。このとき$7 \le x \le 10$となり、 $x = 7, 8, 9$の3つになるのでこれは満たさない。

$-10 \le x < -9$となるのは$-13 \le k < -12$

$6 < k \le 7$ では、整数が3つ存在することになるので不適。$k=7$のとき $7\le x\le 10$なので、$x=7, 8, 9$の３つが存在する

$-13 \le k <-12$では、整数が1つしか存在しない。$-13\le x\le -10$となるので、$x=-10$のみ

$k \le x \le k+3$ の範囲の整数xがちょうど2個存在するためには、$k > 7$

$k=6$: $x=6,7,8,9$

$k=7$: $x=7,8,9$

$k=8$: $x=8,9$

$k=9$: $x=9$

$6 < k \le 7$の範囲では、整数が3つ存在するので条件を満たさない。

$6 < k \le 7$のとき$4\sqrt{6} < k+3$となる必要があるので$k \ge 7$となる

このとき$k \le x \le k+3$となり$x$は2個

$6 < k \le 7$

3. 最終的な答え

$6 < k \le 7$