問題は、$(b-d)\sqrt{3} = c-a$ という関係式が与えられたとき、$a, b, c, d$ が有理数であるという条件から、$a=c$ かつ $b=d$ を導く問題です。途中の空欄を埋める必要があります。

1. 問題の内容

問題は、$(b-d)\sqrt{3} = c-a$ という関係式が与えられたとき、$a, b, c, d$ が有理数であるという条件から、$a=c$ かつ $b=d$ を導く問題です。途中の空欄を埋める必要があります。

2. 解き方の手順

ア：$b-d \neq 0$ と仮定します。

イ：与えられた式 $(b-d)\sqrt{3} = c-a$ の両辺を $(b-d)$ で割ると、

$\sqrt{3} = \frac{c-a}{b-d}$

となります。$a, b, c, d$ が有理数であるとき、$\frac{c-a}{b-d}$ は有理数になります。しかし、$\sqrt{3}$ は無理数であるため、矛盾が生じます。

ウ：矛盾が生じたため、$b-d \neq 0$ という仮定が誤りであり、$b-d = 0$ である必要があります。

エ：$b-d = 0$ を $(*)$ に代入すると、

$(0)\sqrt{3} = c-a$

$0 = c-a$

したがって、$c = a$

よって、$a=c$ かつ $b=d$ が導かれました。

3. 最終的な答え

ア：$b-d \neq 0$

イ：$\frac{c-a}{b-d}$

ウ：$b-d=0$

エ：$a=c$