与えられた分数の分母を有理化する問題です。分数は $\frac{4}{\sqrt{3}-1}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。分数は $\frac{4}{\sqrt{3}-1}$ です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な複素数である$\sqrt{3}+1$ を分母と分子の両方に掛けます。

$\frac{4}{\sqrt{3}-1} = \frac{4(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}$

次に、分母を計算します。分母は $(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)$ となります。

これは $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ の形をしているので、以下のように計算できます。

$(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1) = (\sqrt{3})^2 - (1)^2 = 3 - 1 = 2$

したがって、分母は 2 になります。

次に、分子を計算します。

$4(\sqrt{3}+1) = 4\sqrt{3} + 4$

したがって、与えられた分数は次のようになります。

$\frac{4\sqrt{3}+4}{2} = \frac{2(2\sqrt{3}+2)}{2} = 2\sqrt{3}+2$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{3} + 2$