問題は$\sqrt{4-\sqrt{15}}$の値を求めることです。

1. 問題の内容

問題は$\sqrt{4-\sqrt{15}}$の値を求めることです。

2. 解き方の手順

二重根号を外すことを考えます。

まず、根号の中の式を$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$の形に変形できるか試します。

$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a+b-2\sqrt{ab}$

したがって、$a+b=4$ かつ $ab = \frac{15}{4}$ となる $a$ と $b$ を探します。

$a+b=4$と$ab=\frac{15}{4}$より、$a$と$b$は$t^2-4t+\frac{15}{4}=0$の解となります。

この二次方程式を解くと、

$4t^2 - 16t + 15 = 0$

$(2t-5)(2t-3) = 0$

$t = \frac{5}{2}, \frac{3}{2}$

よって、$a = \frac{5}{2}$、$b = \frac{3}{2}$とすればよいです。

したがって、

$\sqrt{4 - \sqrt{15}} = \sqrt{\frac{5}{2} + \frac{3}{2} - 2\sqrt{\frac{5}{2}\times\frac{3}{2}}}$

$= \sqrt{(\sqrt{\frac{5}{2}} - \sqrt{\frac{3}{2}})^2}$

$= \sqrt{\frac{5}{2}} - \sqrt{\frac{3}{2}}$

$= \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

$= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

$= \frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$