問題文は、xとyが実数であるとき、3つの命題における必要条件と十分条件の関係を問うものです。具体的には、 1. $x=y$ は $x = \sqrt{y^2}$ であるための（必要条件、十分条件、必要十分条件、いずれでもない）？

1. 問題の内容

問題文は、xとyが実数であるとき、3つの命題における必要条件と十分条件の関係を問うものです。具体的には、

1. $x=y$ は $x = \sqrt{y^2}$ であるための（必要条件、十分条件、必要十分条件、いずれでもない）？

2. $|xy|=xy$ は $x=0$ または $y=0$ であるための（必要条件、十分条件、必要十分条件、いずれでもない）？

3. $x, y$ がともに有理数であることは、$x+y$ が有理数であるための（必要条件、十分条件、必要十分条件、いずれでもない）？

という3つの命題について、それぞれ答えます。

2. 解き方の手順

1. **命題1: $x=y$ は $x = \sqrt{y^2}$ であるための？**

$x=y$ ならば $x = \sqrt{y^2}$ は常に成り立ちます。 なぜなら、$y=x$ を $x = \sqrt{y^2}$ に代入すると、$x=\sqrt{x^2}$となり、$x$は実数なので$x \ge 0$の場合、$x=x$となります。$x$が負の場合は成り立ちません。したがって、$x=y$は$x = \sqrt{y^2}$であるための十分条件ではありません。

逆に、$x = \sqrt{y^2}$ ならば、$x=|y|$となります。このとき、$x=y$とは限りません。例えば、$x=2$、$y=-2$のとき、$x = \sqrt{y^2}$ は成り立ちますが、$x=y$ は成り立ちません。したがって、$x=y$は$x = \sqrt{y^2}$であるための必要条件ではありません。

したがって、$x=y$は$x = \sqrt{y^2}$であるための必要条件でも十分条件でもありません。

2. **命題2: $|xy|=xy$ は $x=0$ または $y=0$ であるための？**

$|xy|=xy$ は、$xy \ge 0$を意味します。

$x=0$または$y=0$ならば、$xy=0$となり、$|xy|=|0|=0=xy$。したがって、$|xy|=xy$は成り立ちます。よって、$x=0$または$y=0$は$|xy|=xy$であるための十分条件です。

しかし、$|xy|=xy$（すなわち、$xy \ge 0$）でも、$x=0$または$y=0$とは限りません。例えば、$x=1$, $y=1$のとき、$xy=1 \ge 0$なので、$|xy|=xy$は成り立ちますが、$x=0$または$y=0$は成り立ちません。よって、$x=0$または$y=0$は$|xy|=xy$であるための必要条件ではありません。

したがって、$|xy|=xy$は$x=0$または$y=0$であるための十分条件であるが必要条件ではありません。

3. **命題3: $x, y$ がともに有理数であることは、$x+y$ が有理数であるための？**

$x, y$ がともに有理数ならば、$x+y$ も有理数です。これは有理数の定義より明らかです。したがって、$x, y$ がともに有理数であることは、$x+y$ が有理数であるための十分条件です。

$x+y$ が有理数ならば、$x, y$ がともに有理数であるとは限りません。例えば、$x=\sqrt{2}$、$y=1-\sqrt{2}$のとき、$x+y=1$は有理数ですが、$x=\sqrt{2}$は無理数です。したがって、$x, y$ がともに有理数であることは、$x+y$ が有理数であるための必要条件ではありません。

したがって、$x, y$ がともに有理数であることは、$x+y$ が有理数であるための十分条件であるが必要条件ではありません。

3. 最終的な答え

1. $x=y$は$x = \sqrt{y^2}$であるための (エ) 必要条件でも十分条件でもない。

2. $|xy|=xy$は$x=0$または$y=0$であるための (イ) 十分条件であるが必要条件でない。

3. $x, y$ がともに有理数であることは、$x+y$ が有理数であるための (イ) 十分条件であるが必要条件でない。