2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a, b$ ($a < b$) とする。 (1) $a, b$ の値をそれぞれ求めよ。 (2) $a^2 + b^2, \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値をそれぞれ求めよ。 (3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \leq |\frac{b}{a}|$ を解け。また、不等式①と $k \leq x \leq k + 3$ をともに満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a, b$ ($a < b$) とする。

(1) $a, b$ の値をそれぞれ求めよ。

(2) $a^2 + b^2, \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値をそれぞれ求めよ。

(3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \leq |\frac{b}{a}|$ を解け。また、不等式①と $k \leq x \leq k + 3$ をともに満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ を解く。解の公式を用いると、

$$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$$

$a < b$ であるから、 $a = 2 - \sqrt{6}, b = 2 + \sqrt{6}$ である。

(2) $a^2 + b^2$ を求める。

$$a^2 + b^2 = (2 - \sqrt{6})^2 + (2 + \sqrt{6})^2 = (4 - 4\sqrt{6} + 6) + (4 + 4\sqrt{6} + 6) = 10 - 4\sqrt{6} + 10 + 4\sqrt{6} = 20$$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab}$ を求める。

$ab = (2 - \sqrt{6})(2 + \sqrt{6}) = 4 - 6 = -2$ であるから、

$$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{20}{-2} = -10$$

(3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \leq |\frac{b}{a}|$ を解く。

$|x - \frac{a}{b}| \leq |\frac{b}{a}|$ は $-\frac{b}{a} \leq x - \frac{a}{b} \leq \frac{b}{a}$ と同値である。

したがって、 $\frac{a}{b} - \frac{b}{a} \leq x \leq \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ となる。

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = -10$ であり、 $\frac{a}{b} - \frac{b}{a} = -(\frac{b}{a} - \frac{a}{b}) = -(\frac{b^2 - a^2}{ab}) = -(\frac{(b+a)(b-a)}{ab})$ である。

$a + b = (2 - \sqrt{6}) + (2 + \sqrt{6}) = 4$

$b - a = (2 + \sqrt{6}) - (2 - \sqrt{6}) = 2\sqrt{6}$

であるから、 $\frac{a}{b} - \frac{b}{a} = -(\frac{4(2\sqrt{6})}{-2}) = 4\sqrt{6}$ である。

したがって、$4\sqrt{6} \leq x \leq -10$ となる。これはありえない。

不等式は $|x - \frac{a}{b}| \leq |\frac{b}{a}|$ であるから、$|\frac{b}{a}| = | \frac{1}{\frac{a}{b}} |$

$\frac{a}{b} = \frac{2-\sqrt{6}}{2+\sqrt{6}} = \frac{(2-\sqrt{6})^2}{4-6} = \frac{4-4\sqrt{6}+6}{-2} = \frac{10-4\sqrt{6}}{-2} = -5 + 2\sqrt{6}$

$|\frac{b}{a}| = |\frac{1}{a/b}| = | \frac{1}{-5+2\sqrt{6}}| = |\frac{-5-2\sqrt{6}}{25-24}| = |-5-2\sqrt{6}| = 5 + 2\sqrt{6}$

$-5-2\sqrt{6} \leq x +5-2\sqrt{6} \leq 5+2\sqrt{6}$

$-10 \leq x \leq 10 - 4\sqrt{6}$

$4\sqrt{6} \approx 4(2.449) = 9.796$

$10 - 4\sqrt{6} \approx 0.204$

$k \leq x \leq k + 3$

$-10 \leq x \leq 0.204$

$k \leq x \leq k + 3$を満たす整数$x$が2個

$k \leq -9, -8, ..., 0 \leq k+3$

$k \leq x \leq k+3$

$x = -10, x=-9$

$k \leq -10 \leq k+3 \rightarrow -13 \leq k \leq -10$

$k \leq -9 \leq k+3 \rightarrow -12 \leq k \leq -9$

$-12 \leq k \leq -10$を満たす

$-1, 0$の2つの整数を含む

$k \leq -1 < 0 \leq k+3$

$-12 < k \leq -11$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2 - \sqrt{6}, b = 2 + \sqrt{6}$

(2) $a^2 + b^2 = 20, \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = -10$

(3) $-12 < k \leq -11$