整数 $n$ について、$n^2$ が 5 の倍数ならば $n$ は 5 の倍数である。この事実を用いて、$\sqrt{5}$ が無理数であることを証明する。

1. 問題の内容

整数 $n$ について、$n^2$ が 5 の倍数ならば $n$ は 5 の倍数である。この事実を用いて、$\sqrt{5}$ が無理数であることを証明する。

2. 解き方の手順

背理法を用いる。$\sqrt{5}$ が無理数でない、つまり有理数であると仮定する。

すると、互いに素な整数 $m$ と $n$ を用いて、

$\sqrt{5} = \frac{m}{n}$

と表せる。

両辺を2乗すると、

$5 = \frac{m^2}{n^2}$

となる。

これを変形すると、

$m^2 = 5n^2$

となる。

この式より、$m^2$ は 5 の倍数である。問題文で与えられた条件から、$m$ も 5 の倍数である。したがって、$m=5k$ ( $k$ は整数) と表せる。

これを $m^2 = 5n^2$ に代入すると、

$(5k)^2 = 5n^2$

$25k^2 = 5n^2$

$5k^2 = n^2$

となる。

この式より、$n^2$ は 5 の倍数である。問題文で与えられた条件から、$n$ も 5 の倍数である。

ここで、$m$ と $n$ がともに 5 の倍数であるという結論が得られたが、これは $m$ と $n$ が互いに素であるという仮定に矛盾する。

したがって、$\sqrt{5}$ は有理数であるという仮定は誤りであり、$\sqrt{5}$ は無理数である。

3. 最終的な答え

$\sqrt{5}$ は無理数である。