与えられた2つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{n \to \infty} \frac{(n-2)^3(2n^4-3n+4)^2}{(n+2022)^{11}}$ (2) $\lim_{n \to \infty} \frac{\cos(\pi^n)}{n}$

1. 問題の内容

与えられた2つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{(n-2)^3(2n^4-3n+4)^2}{(n+2022)^{11}}$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{\cos(\pi^n)}{n}$

2. 解き方の手順

(1)

分子と分母の $n$ の最高次数を比較して極限を求めます。

分子の最高次数は、$(n-2)^3$ から $n^3$、$(2n^4-3n+4)^2$ から $(2n^4)^2 = 4n^8$。よって、分子の最高次数は $n^{3+8} = n^{11}$。

分母の最高次数は、$(n+2022)^{11}$ から $n^{11}$。

したがって、$\lim_{n \to \infty} \frac{(n-2)^3(2n^4-3n+4)^2}{(n+2022)^{11}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^3 (2n^4)^2}{n^{11}} = \lim_{n \to \infty} \frac{4n^{11}}{n^{11}}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{(n-2)^3(2n^4-3n+4)^2}{(n+2022)^{11}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n^3 - 6n^2 + ...)(4n^8 - 12n^5 + ...)}{(n^{11} + ...)} = \lim_{n \to \infty} \frac{4n^{11}+...}{n^{11}+...}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{...}{n^{11}}}{1+\frac{...}{n^{11}}}$

分子の最高次の係数は $(1)(4) = 4$

分母の最高次の係数は $(1)$

(2)

$n \to \infty$ のとき、$n$ は非常に大きな値になります。

$\cos(\pi^n)$ は、$n$ がどんなに大きくなっても $-1 \le \cos(\pi^n) \le 1$ の範囲の値しか取りません。

したがって、$\lim_{n \to \infty} \frac{\cos(\pi^n)}{n} = 0$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) 0