$(\frac{1}{2})^{20}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて $0$ でない数字が現れるかを求めます。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ とします。

1. 問題の内容

$(\frac{1}{2})^{20}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて $0$ でない数字が現れるかを求めます。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ とします。

2. 解き方の手順

まず、$(\frac{1}{2})^{20}$ の常用対数を計算します。

$\log_{10}(\frac{1}{2})^{20} = 20 \log_{10}(\frac{1}{2}) = 20 (\log_{10}1 - \log_{10}2)$

$= 20 (0 - \log_{10}2) = -20 \log_{10}2$

与えられた $\log_{10}2 = 0.3010$ を代入すると、

$\log_{10}(\frac{1}{2})^{20} = -20 \times 0.3010 = -6.02$

次に、この値を整数部分と小数部分に分けます。

$\log_{10}(\frac{1}{2})^{20} = -7 + 0.98$

$(\frac{1}{2})^{20}$ が小数第 $n$ 位に初めて $0$ でない数字が現れるとき、

$-n \leqq \log_{10}(\frac{1}{2})^{20} < -n+1$

となるはずです。

今、$\log_{10}(\frac{1}{2})^{20} = -6.02$ であるから、

$-7 < -6.02 < -6$

となるので、$n = 7$ であることがわかります。

または、$\log_{10}(\frac{1}{2})^{20} = -6.02 = -7 + 0.98$より、 $(\frac{1}{2})^{20}$は、$10^{-7}$と$10^{-6}$の間にあることがわかります。つまり、小数第7位に初めて0でない数字が現れます。

3. 最終的な答え

小数第7位