次の極限を計算する問題です。 $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2+x} - \sqrt{2-x}}{x}$

1. 問題の内容

次の極限を計算する問題です。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2+x} - \sqrt{2-x}}{x}$

2. 解き方の手順

極限を計算するために、分子を有理化します。つまり、分子と分母に $\sqrt{2+x} + \sqrt{2-x}$ を掛けます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2+x} - \sqrt{2-x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{2+x} - \sqrt{2-x})(\sqrt{2+x} + \sqrt{2-x})}{x(\sqrt{2+x} + \sqrt{2-x})}$

分子を展開すると、次のようになります。

$(\sqrt{2+x} - \sqrt{2-x})(\sqrt{2+x} + \sqrt{2-x}) = (2+x) - (2-x) = 2x$

したがって、極限は次のようになります。

$\lim_{x \to 0} \frac{2x}{x(\sqrt{2+x} + \sqrt{2-x})} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{2+x} + \sqrt{2-x}}$

$x \to 0$ のとき、$\sqrt{2+x} \to \sqrt{2}$ と $\sqrt{2-x} \to \sqrt{2}$ なので、極限は次のようになります。

$\frac{2}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

分母を有理化すると、

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{2}}{2}$