パラメータ表示された曲線 $x = 2(t - \sin t)$, $y = 2(1 - \cos t)$ ($0 \le t \le 2\pi$) の長さを求めます。

1. 問題の内容

パラメータ表示された曲線 $x = 2(t - \sin t)$, $y = 2(1 - \cos t)$ ($0 \le t \le 2\pi$) の長さを求めます。

2. 解き方の手順

曲線の長さ $L$ は、

$$L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$$

で与えられます。

まず、$x$ と $y$ を $t$ で微分します。

$$\frac{dx}{dt} = 2(1 - \cos t)$$

$$\frac{dy}{dt} = 2\sin t$$

次に、$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2$ を計算します。

\begin{align*} \label{eq:1} \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 &= [2(1 - \cos t)]^2 + (2\sin t)^2 \\ &= 4(1 - 2\cos t + \cos^2 t) + 4\sin^2 t \\ &= 4 - 8\cos t + 4\cos^2 t + 4\sin^2 t \\ &= 4 - 8\cos t + 4(\cos^2 t + \sin^2 t) \\ &= 4 - 8\cos t + 4 \\ &= 8 - 8\cos t \\ &= 8(1 - \cos t) \\ &= 8 \cdot 2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right) \\ &= 16\sin^2\left(\frac{t}{2}\right) \end{align*}

したがって、

$$\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} = \sqrt{16\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} = 4\left|\sin\left(\frac{t}{2}\right)\right|$$

$0 \le t \le 2\pi$ のとき、$0 \le \frac{t}{2} \le \pi$ なので、$\sin\left(\frac{t}{2}\right) \ge 0$ です。したがって、

$$\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} = 4\sin\left(\frac{t}{2}\right)$$

よって、

\begin{align*} L &= \int_0^{2\pi} 4\sin\left(\frac{t}{2}\right) dt \\ &= 4 \int_0^{2\pi} \sin\left(\frac{t}{2}\right) dt \\ &= 4 \left[ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right]_0^{2\pi} \\ &= -8 \left[ \cos\left(\frac{2\pi}{2}\right) - \cos\left(\frac{0}{2}\right) \right] \\ &= -8 (\cos \pi - \cos 0) \\ &= -8(-1 - 1) \\ &= -8(-2) \\ &= 16 \end{align*}

3. 最終的な答え

16