与えられた積分を計算します。積分は $\int \sqrt{e^x + 1} \, dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は $\int \sqrt{e^x + 1} \, dx$ です。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$u = \sqrt{e^x + 1}$ と置きます。

$u^2 = e^x + 1$

$e^x = u^2 - 1$

$x = \ln(u^2 - 1)$

$dx = \frac{2u}{u^2 - 1} du$

したがって、積分は次のようになります。

$\int u \cdot \frac{2u}{u^2 - 1} du = \int \frac{2u^2}{u^2 - 1} du$

$\frac{2u^2}{u^2 - 1} = \frac{2(u^2 - 1) + 2}{u^2 - 1} = 2 + \frac{2}{u^2 - 1} = 2 + \frac{2}{(u-1)(u+1)} = 2 + \frac{A}{u-1} + \frac{B}{u+1}$

$2 = A(u+1) + B(u-1)$

$u=1$ のとき、$2 = 2A \implies A = 1$

$u=-1$ のとき、$2 = -2B \implies B = -1$

したがって、

$\int \frac{2u^2}{u^2 - 1} du = \int \left( 2 + \frac{1}{u-1} - \frac{1}{u+1} \right) du = 2u + \ln|u-1| - \ln|u+1| + C = 2u + \ln\left| \frac{u-1}{u+1} \right| + C$

$u = \sqrt{e^x + 1}$ を代入すると、

$2\sqrt{e^x + 1} + \ln\left| \frac{\sqrt{e^x + 1} - 1}{\sqrt{e^x + 1} + 1} \right| + C$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{e^x + 1} + \ln\left| \frac{\sqrt{e^x + 1} - 1}{\sqrt{e^x + 1} + 1} \right| + C$