2次方程式 $2x^2 - 3x + 8 = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^3 + \beta^3$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - 3x + 8 = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^3 + \beta^3$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式の解と係数の関係を利用する。

$ax^2 + bx + c = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とすると、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

である。

今回の問題では、$2x^2 - 3x + 8 = 0$ なので、

$\alpha + \beta = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2}$

$\alpha \beta = \frac{8}{2} = 4$

となる。

次に、$\alpha^3 + \beta^3$ を $(\alpha + \beta)$ と $(\alpha \beta)$ を用いて表す。

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$

これに $\alpha + \beta = \frac{3}{2}$ と $\alpha \beta = 4$ を代入する。

$\alpha^3 + \beta^3 = (\frac{3}{2})^3 - 3 \cdot 4 \cdot \frac{3}{2}$

$= \frac{27}{8} - 18$

$= \frac{27}{8} - \frac{144}{8}$

$= \frac{27 - 144}{8}$

$= \frac{-117}{8}$

3. 最終的な答え

$\alpha^3 + \beta^3 = -\frac{117}{8}$