多項式 $P(x) = x^3 - (a-1)x^2 + (b-5)x + a - 2b + 10$ が与えられており、$P(-1) = 0$ である。ここで、$a, b$ は実数の定数とする。 (1) $b$ の値を求めよ。 (2) $P(x)$ を因数分解せよ。また、方程式 $P(x) = 0$ が虚数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。 (3) 方程式 $P(x) = 0$ が異なる3つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。また、このとき、異なる3つの実数解の和を $p$、積を $q$ とおき、$p^3 + 3q + 5 = 0$ となる $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 - (a-1)x^2 + (b-5)x + a - 2b + 10$ が与えられており、$P(-1) = 0$ である。ここで、$a, b$ は実数の定数とする。

(1) $b$ の値を求めよ。

(2) $P(x)$ を因数分解せよ。また、方程式 $P(x) = 0$ が虚数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

(3) 方程式 $P(x) = 0$ が異なる3つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。また、このとき、異なる3つの実数解の和を $p$、積を $q$ とおき、$p^3 + 3q + 5 = 0$ となる $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $P(-1) = 0$ を利用して $b$ の値を求める。

$P(-1) = (-1)^3 - (a-1)(-1)^2 + (b-5)(-1) + a - 2b + 10 = 0$

$-1 - (a-1) - (b-5) + a - 2b + 10 = 0$

$-1 - a + 1 - b + 5 + a - 2b + 10 = 0$

$-3b + 15 = 0$

$3b = 15$

$b = 5$

(2) $b = 5$ を $P(x)$ に代入して因数分解する。

$P(x) = x^3 - (a-1)x^2 + (5-5)x + a - 2(5) + 10$

$P(x) = x^3 - (a-1)x^2 + a$

$P(x) = 0$ は $x = -1$ を解に持つので、$P(x)$ は $(x+1)$ を因数に持つ。

$P(x) = (x+1)(x^2 + cx + a)$ の形に因数分解できるはず。

$(x+1)(x^2 + cx + a) = x^3 + (c+1)x^2 + (a+c)x + a$

係数を比較すると、

$c+1 = -(a-1) = 1-a$ より、 $c = -a$

$a+c = 0$ より、$a + (-a) = 0$ となり矛盾しない。

したがって、$P(x) = (x+1)(x^2 - ax + a)$ と因数分解できる。

$P(x) = 0$ が虚数解を持つためには、$x^2 - ax + a = 0$ が虚数解を持てばよい。

判別式を $D$ とすると、$D = (-a)^2 - 4(1)(a) = a^2 - 4a$

$D < 0$ のとき、虚数解を持つ。

$a^2 - 4a < 0$

$a(a-4) < 0$

$0 < a < 4$

(3) $P(x) = 0$ が異なる3つの実数解を持つためには、

$x^2 - ax + a = 0$ が $x = -1$ 以外の2つの異なる実数解を持てばよい。

$x = -1$ が $x^2 - ax + a = 0$ の解でないことより、

$(-1)^2 - a(-1) + a \neq 0$

$1 + a + a \neq 0$

$2a \neq -1$

$a \neq -\frac{1}{2}$

また、判別式 $D > 0$ である必要がある。

$a(a-4) > 0$

$a < 0$ または $a > 4$

したがって、$a < 0$ または $a > 4$ であり、$a \neq -\frac{1}{2}$ である。

$a < 0$ が条件を満たす。

$x^2 - ax + a = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = a$, $\alpha \beta = a$

$p = -1 + \alpha + \beta = -1 + a$

$q = (-1)\alpha\beta = -a$

$p^3 + 3q + 5 = 0$ に代入すると、

$(-1+a)^3 + 3(-a) + 5 = 0$

$-1 + 3a - 3a^2 + a^3 - 3a + 5 = 0$

$a^3 - 3a^2 + 4 = 0$

$(a+1)(a^2 - 4a + 4) = 0$

$(a+1)(a-2)^2 = 0$

$a = -1, 2$

異なる3つの実数解をもつ条件より、$a < 0$ または $a > 4$ であるから、$a = -1$

3. 最終的な答え

(1) $b = 5$

(2) $P(x) = (x+1)(x^2 - ax + a)$ 、 $0 < a < 4$

(3) $a < 0$ または $a > 4$ 、 $a = -1$