与えられた不等式 $9^{x+1} - 10 \cdot 3^x + 1 < 0$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $9^{x+1} - 10 \cdot 3^x + 1 < 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、$9^{x+1}$ を変形します。

$9^{x+1} = 9^x \cdot 9^1 = 9 \cdot 9^x$

ここで、$9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$ なので、$9^{x+1} = 9 \cdot (3^x)^2$ となります。

与えられた不等式に代入すると、

$9 \cdot (3^x)^2 - 10 \cdot 3^x + 1 < 0$

ここで、$y = 3^x$ と置くと、

$9y^2 - 10y + 1 < 0$

この二次不等式を解きます。

$9y^2 - 10y + 1 = (9y - 1)(y - 1) < 0$

よって、$1/9 < y < 1$ です。

$y = 3^x$ なので、$1/9 < 3^x < 1$ となります。

$1/9 = 3^{-2}$ および $1 = 3^0$ なので、

$3^{-2} < 3^x < 3^0$

底が3で1より大きいので、指数の大小関係は不等号の向きと同じになります。

$-2 < x < 0$

3. 最終的な答え

$-2 < x < 0$