不等式 $x^2 + y^2 \leq 1$ を満たす $x, y$ に対して、$x + y$ の最大値と最小値、およびそのときの $x, y$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

不等式 $x^2 + y^2 \leq 1$ を満たす $x, y$ に対して、$x + y$ の最大値と最小値、およびそのときの $x, y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$x + y = k$ とおく。このとき、$y = -x + k$ である。

これを $x^2 + y^2 \leq 1$ に代入すると、

$x^2 + (-x + k)^2 \leq 1$

$x^2 + x^2 - 2kx + k^2 \leq 1$

$2x^2 - 2kx + k^2 - 1 \leq 0$

$x$ は実数なので、$x$ についての二次方程式 $2x^2 - 2kx + k^2 - 1 = 0$ が実数解を持つ必要がある。

判別式 $D$ は、

$D = (-2k)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (k^2 - 1) = 4k^2 - 8k^2 + 8 = -4k^2 + 8$

$D \geq 0$ より、$-4k^2 + 8 \geq 0$

$k^2 \leq 2$

$-\sqrt{2} \leq k \leq \sqrt{2}$

したがって、$x+y = k$ の最大値は $\sqrt{2}$ であり、最小値は $-\sqrt{2}$ である。

最大値 $k = \sqrt{2}$ のとき、

$2x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 - 1 = 0$

$2x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 = 0$

$(\sqrt{2}x - 1)^2 = 0$

$x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$y = -x + k = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

最小値 $k = -\sqrt{2}$ のとき、

$2x^2 + 2\sqrt{2}x + 2 - 1 = 0$

$2x^2 + 2\sqrt{2}x + 1 = 0$

$(\sqrt{2}x + 1)^2 = 0$

$x = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$y = -x + k = \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

最大値：$\sqrt{2}$ ($x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき)

最小値：$-\sqrt{2}$ ($x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき)