三角形ABCにおいて、辺BCを1:2に内分する点をP、辺ACを4:3に内分する点をQ、線分PQを2:1に内分する点をRとします。点A, B, Cの位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$とするとき、次の点の位置ベクトルを$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で表します。 (1) 点Pの位置ベクトル $\vec{p}$ (2) 点Qの位置ベクトル $\vec{q}$ (3) 点Rの位置ベクトル $\vec{r}$

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BCを1:2に内分する点をP、辺ACを4:3に内分する点をQ、線分PQを2:1に内分する点をRとします。点A, B, Cの位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$とするとき、次の点の位置ベクトルを$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で表します。

(1) 点Pの位置ベクトル $\vec{p}$

(2) 点Qの位置ベクトル $\vec{q}$

(3) 点Rの位置ベクトル $\vec{r}$

2. 解き方の手順

(1) 点Pは辺BCを1:2に内分するので、内分点の公式より、

$\vec{p} = \frac{2\vec{b} + 1\vec{c}}{1+2} = \frac{2\vec{b} + \vec{c}}{3}$

(2) 点Qは辺ACを4:3に内分するので、内分点の公式より、

$\vec{q} = \frac{3\vec{a} + 4\vec{c}}{4+3} = \frac{3\vec{a} + 4\vec{c}}{7}$

(3) 点Rは線分PQを2:1に内分するので、内分点の公式より、

$\vec{r} = \frac{1 \cdot \vec{p} + 2 \cdot \vec{q}}{2+1} = \frac{\vec{p} + 2\vec{q}}{3}$

ここで、$\vec{p}$と$\vec{q}$を代入します。

$\vec{r} = \frac{1}{3} \left( \frac{2\vec{b} + \vec{c}}{3} + 2 \cdot \frac{3\vec{a} + 4\vec{c}}{7} \right)$

$= \frac{1}{3} \left( \frac{2\vec{b}}{3} + \frac{\vec{c}}{3} + \frac{6\vec{a}}{7} + \frac{8\vec{c}}{7} \right)$

$= \frac{1}{3} \left( \frac{6\vec{a}}{7} + \frac{2\vec{b}}{3} + \frac{\vec{c}}{3} + \frac{8\vec{c}}{7} \right)$

$= \frac{1}{3} \left( \frac{6\vec{a}}{7} + \frac{2\vec{b}}{3} + \frac{7\vec{c} + 24\vec{c}}{21} \right)$

$= \frac{1}{3} \left( \frac{6\vec{a}}{7} + \frac{2\vec{b}}{3} + \frac{31\vec{c}}{21} \right)$

$= \frac{2\vec{a}}{7} + \frac{2\vec{b}}{9} + \frac{31\vec{c}}{63}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{p} = \frac{2\vec{b} + \vec{c}}{3}$

(2) $\vec{q} = \frac{3\vec{a} + 4\vec{c}}{7}$

(3) $\vec{r} = \frac{2\vec{a}}{7} + \frac{2\vec{b}}{9} + \frac{31\vec{c}}{63}$