2つの円 $C_1: (x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$ と $C_2: (x-5)^2 + (y-3)^2 = 1$ の共通接線の方程式をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

2つの円 $C_1: (x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$ と $C_2: (x-5)^2 + (y-3)^2 = 1$ の共通接線の方程式をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

円 $C_1$ の中心は $(1, 1)$、半径は $1$ であり、円 $C_2$ の中心は $(5, 3)$、半径は $1$ である。

共通接線を $y = mx + n$ とおく。

$C_1$ の中心 $(1, 1)$ から共通接線 $mx - y + n = 0$ までの距離が $1$ であるから、

$$\frac{|m - 1 + n|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 1$$

$C_2$ の中心 $(5, 3)$ から共通接線 $mx - y + n = 0$ までの距離が $1$ であるから、

$$\frac{|5m - 3 + n|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 1$$

したがって、

$|m - 1 + n| = \sqrt{m^2 + 1}$

$|5m - 3 + n| = \sqrt{m^2 + 1}$

よって、$|m - 1 + n| = |5m - 3 + n|$ である。

このことから、$m - 1 + n = 5m - 3 + n$ または $m - 1 + n = -5m + 3 - n$ が成り立つ。

(1) $m - 1 + n = 5m - 3 + n$ のとき、

$-4m = -2$ より $m = \frac{1}{2}$

$\frac{|\frac{1}{2} - 1 + n|}{\sqrt{\frac{1}{4} + 1}} = 1$

$|\frac{1}{2} - 1 + n| = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

$|-\frac{1}{2} + n| = \frac{\sqrt{5}}{2}$

$-\frac{1}{2} + n = \frac{\sqrt{5}}{2}$ または $-\frac{1}{2} + n = -\frac{\sqrt{5}}{2}$

$n = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ または $n = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

したがって、$y = \frac{1}{2}x + \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ より $x - 2y + 1 + \sqrt{5} = 0$ と

$y = \frac{1}{2}x + \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ より $x - 2y + 1 - \sqrt{5} = 0$ が得られる。

(2) $m - 1 + n = -5m + 3 - n$ のとき、

$6m + 2n = 4$ より $3m + n = 2$ となる。よって、$n = 2 - 3m$

$|m - 1 + 2 - 3m| = \sqrt{m^2 + 1}$

$|-2m + 1| = \sqrt{m^2 + 1}$

$(-2m + 1)^2 = m^2 + 1$

$4m^2 - 4m + 1 = m^2 + 1$

$3m^2 - 4m = 0$

$m(3m - 4) = 0$

$m = 0$ または $m = \frac{4}{3}$

$m = 0$ のとき、$n = 2 - 3(0) = 2$

したがって、$y = 2$

$m = \frac{4}{3}$ のとき、$n = 2 - 3(\frac{4}{3}) = 2 - 4 = -2$

したがって、$y = \frac{4}{3}x - 2$ より $4x - 3y - 6 = 0$

3. 最終的な答え

$x - 2y + 1 + \sqrt{5} = 0$

$x - 2y + 1 - \sqrt{5} = 0$

$y = 2$

$4x - 3y - 6 = 0$