点 $A(-1, 0)$ と点 $B(1, 0)$ が与えられている。 (1) $\angle APB = 90^\circ$ を満たす点 $P$ が、原点を中心とする半径1の円上にあることを示す。 (2) 原点を中心とする半径1の円上にある点 $P$ が、$\angle APB = 90^\circ$ を満たさないことがあることを示す。

1. 問題の内容

点 $A(-1, 0)$ と点 $B(1, 0)$ が与えられている。

(1) $\angle APB = 90^\circ$ を満たす点 $P$ が、原点を中心とする半径1の円上にあることを示す。

(2) 原点を中心とする半径1の円上にある点 $P$ が、$\angle APB = 90^\circ$ を満たさないことがあることを示す。

2. 解き方の手順

(1)

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とする。$\angle APB = 90^\circ$ より、$\vec{PA} \cdot \vec{PB} = 0$ が成り立つ。

$\vec{PA} = (-1 - x, -y)$

$\vec{PB} = (1 - x, -y)$

よって、

$(-1 - x)(1 - x) + (-y)(-y) = 0$

$-1 + x - x + x^2 + y^2 = 0$

$x^2 + y^2 = 1$

これは原点を中心とする半径1の円の方程式である。

したがって、$\angle APB = 90^\circ$ を満たす点 $P$ は、原点を中心とする半径1の円上にある。ただし、点A,Bは除く。

(2)

点 $P$ が原点を中心とする半径1の円上にある、すなわち $x^2 + y^2 = 1$ を満たすとする。

このとき、$\angle APB = 90^\circ$ が必ずしも成立しないことを示すためには、反例を挙げればよい。

例えば、点 $P(1, 0)$ を考えると、点 $P$ は原点を中心とする半径1の円上にある。このとき、点 $P$ は点 $B$ と一致するため、$\angle APB$ は定義できない、または $0^\circ$ である。

あるいは、点 $P$ が点 $A(-1, 0)$ または点 $B(1, 0)$ と一致する場合も、$x^2 + y^2 = 1$ を満たすが、$\angle APB$ は定義できない。

他にも、例えば点 $P(0, -1)$ を考えると、$x^2 + y^2 = 1$ を満たす。このとき、$\vec{PA} = (-1, 1)$、$\vec{PB} = (1, 1)$、$\vec{PA} \cdot \vec{PB} = -1 + 1 = 0$ より、$\angle APB = 90^\circ$ となる。

しかし、点 $P$ が $(0, 0)$ の場合、これは半径1の円上にないので不適。

点 $P = (1, 0)$ の場合、$\angle APB$は定義できない。

3. 最終的な答え

(1) $\angle APB = 90^\circ$ を満たす点 $P$ は、原点を中心とする半径1の円上にある。

(2) 点 $P(1, 0)$ は原点を中心とする半径1の円上にあるが、$\angle APB$ は定義できないので、$\angle APB = 90^\circ$ を満たさない。