(1) $2x^3 - x^2 - 16x + a$ が $x-1$ で割り切れるとき、$a$ の値を求める。 (2) $x^3 + ax^2 - 4x + b$ を $(x+1)(x-3)$ で割ったときの余りが $5x+5$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $2x^3 - x^2 - 16x + a$ が $x-1$ で割り切れるとき、$a$ の値を求める。

(2) $x^3 + ax^2 - 4x + b$ を $(x+1)(x-3)$ で割ったときの余りが $5x+5$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 因数定理より、$2x^3 - x^2 - 16x + a$ が $x-1$ で割り切れるとき、$x=1$ を代入すると0になる。

$2(1)^3 - (1)^2 - 16(1) + a = 0$

$2 - 1 - 16 + a = 0$

$-15 + a = 0$

$a = 15$

(2) $x^3 + ax^2 - 4x + b$ を $(x+1)(x-3)$ で割った余りが $5x+5$ であるので、

$x^3 + ax^2 - 4x + b = (x+1)(x-3)Q(x) + 5x + 5$ （$Q(x)$ は商）と表せる。

$x=-1$ を代入すると、

$(-1)^3 + a(-1)^2 - 4(-1) + b = 5(-1) + 5$

$-1 + a + 4 + b = -5 + 5$

$a + b + 3 = 0$

$a + b = -3$ ...(1)

$x=3$ を代入すると、

$(3)^3 + a(3)^2 - 4(3) + b = 5(3) + 5$

$27 + 9a - 12 + b = 15 + 5$

$9a + b + 15 = 20$

$9a + b = 5$ ...(2)

(2) - (1) より、

$(9a + b) - (a + b) = 5 - (-3)$

$8a = 8$

$a = 1$

(1) に $a=1$ を代入すると、

$1 + b = -3$

$b = -4$

3. 最終的な答え

(1) $a = 15$

(2) $a = 1$, $b = -4$