初項が -29、公差が3である等差数列 $\{a_n\}$ において、初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。 (1) $S_n$ が最小となる $n$ の値を求める。 (2) $S_n$ が正の数となる最小の $n$ の値を求める。

1. 問題の内容

初項が -29、公差が3である等差数列 $\{a_n\}$ において、初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。

(1) $S_n$ が最小となる $n$ の値を求める。

(2) $S_n$ が正の数となる最小の $n$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $S_n$ が最小となる $n$ の値を求める。

等差数列の一般項 $a_n$ は、$a_n = a_1 + (n-1)d$ で与えられる。

ここで、$a_1 = -29$、$d = 3$ なので、$a_n = -29 + (n-1)3 = 3n - 32$ である。

$S_n$ が最小になるのは、$a_n$ が負から正に変わる直前の $n$ である。

$a_n < 0$ となる $n$ を求める。

$3n - 32 < 0$ より、$3n < 32$ なので、$n < \frac{32}{3} = 10.66...$ となる。

したがって、$a_{10} = 3(10) - 32 = -2 < 0$ であり、$a_{11} = 3(11) - 32 = 1 > 0$ である。

$S_n$ は $a_n$ が負の値を足し続ける限り減少するので、$a_{10}$ まで足し合わせることで最小となる。

よって、$S_n$ が最小となる $n$ の値は $10$ である。

(2) $S_n$ が正の数となる最小の $n$ の値を求める。

等差数列の和の公式は、$S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$ で与えられる。

$S_n = \frac{n}{2} (2(-29) + (n-1)3) = \frac{n}{2} (-58 + 3n - 3) = \frac{n}{2} (3n - 61)$

$S_n > 0$ となる $n$ を求める。

$\frac{n}{2} (3n - 61) > 0$

$n > 0$ であるから、$3n - 61 > 0$ であればよい。

$3n > 61$ より、$n > \frac{61}{3} = 20.33...$

したがって、$n = 21$ のとき、$S_{21} = \frac{21}{2} (3(21) - 61) = \frac{21}{2} (63 - 61) = \frac{21}{2} (2) = 21 > 0$ である。

$n = 20$ のとき、$S_{20} = \frac{20}{2} (3(20) - 61) = 10 (60 - 61) = 10(-1) = -10 < 0$ である。

よって、$S_n$ が正の数となる最小の $n$ の値は $21$ である。

3. 最終的な答え

(1) $S_n$ が最小となる $n$ の値は $10$

(2) $S_n$ が正の数となる最小の $n$ の値は $21$