2つの直線 $ax + 3y + 1 = 0$ と $2x + (a-1)y = 0$ が与えられたとき、この2つの直線が平行である場合と垂直である場合のそれぞれについて、定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2つの直線 $ax + 3y + 1 = 0$ と $2x + (a-1)y = 0$ が与えられたとき、この2つの直線が平行である場合と垂直である場合のそれぞれについて、定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの直線を $y = mx + b$ の形に変形して、傾きを求めます。

直線1: $ax + 3y + 1 = 0$ を変形すると、

$3y = -ax - 1$

$y = -\frac{a}{3}x - \frac{1}{3}$

したがって、直線1の傾きは $m_1 = -\frac{a}{3}$ です。

直線2: $2x + (a-1)y = 0$ を変形すると、

$(a-1)y = -2x$

$y = -\frac{2}{a-1}x$

したがって、直線2の傾きは $m_2 = -\frac{2}{a-1}$ です。

平行条件: 2つの直線が平行であるとき、それらの傾きは等しいです。つまり、$m_1 = m_2$。

$-\frac{a}{3} = -\frac{2}{a-1}$

$a(a-1) = 6$

$a^2 - a - 6 = 0$

$(a-3)(a+2) = 0$

$a = 3, -2$

ここで、直線2の式において $a = 1$ とすると、$2x = 0$ となり、$x = 0$ という直線（y軸）を表します。直線1が $x = 0$ となるのは、$3y + 1 = 0$ つまり、$y = -\frac{1}{3}$ のときなので、平行ではありません。したがって、$a = 1$ の場合は考慮する必要はありません。

垂直条件: 2つの直線が垂直であるとき、それらの傾きの積は -1 です。つまり、$m_1 \cdot m_2 = -1$。

$(-\frac{a}{3})(-\frac{2}{a-1}) = -1$

$\frac{2a}{3(a-1)} = -1$

$2a = -3(a-1)$

$2a = -3a + 3$

$5a = 3$

$a = \frac{3}{5}$

ここで、$a = 1$ の場合も考慮する必要はありません。

3. 最終的な答え

平行であるとき: $a = 3, -2$

垂直であるとき: $a = \frac{3}{5}$