与えられた4つの数列の和を求める問題です。それぞれの数列は等比数列の和の形になっています。 (1) $\sum_{k=1}^{n} 7^{k-1}$ (2) $\sum_{k=1}^{n} (-3)^{k}$ (3) $\sum_{k=1}^{n-1} 5^{k}$ (4) $\sum_{i=1}^{n+1} 2^{i+1}$

1. 問題の内容

与えられた4つの数列の和を求める問題です。それぞれの数列は等比数列の和の形になっています。

(1) $\sum_{k=1}^{n} 7^{k-1}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (-3)^{k}$

(3) $\sum_{k=1}^{n-1} 5^{k}$

(4) $\sum_{i=1}^{n+1} 2^{i+1}$

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式を使います。初項を $a$ 、公比を $r$ とすると、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は次のようになります。

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ （ただし、$r \neq 1$）

(1) $\sum_{k=1}^{n} 7^{k-1}$

初項 $a = 7^{1-1} = 7^0 = 1$, 公比 $r = 7$, 項数 $n$ です。

$S_n = \frac{1(1-7^n)}{1-7} = \frac{1-7^n}{-6} = \frac{7^n-1}{6}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (-3)^{k}$

初項 $a = (-3)^1 = -3$, 公比 $r = -3$, 項数 $n$ です。

$S_n = \frac{-3(1-(-3)^n)}{1-(-3)} = \frac{-3(1-(-3)^n)}{4} = \frac{-3+3(-3)^n}{4}$

(3) $\sum_{k=1}^{n-1} 5^{k}$

初項 $a = 5^1 = 5$, 公比 $r = 5$, 項数 $n-1$ です。

$S_{n-1} = \frac{5(1-5^{n-1})}{1-5} = \frac{5(1-5^{n-1})}{-4} = \frac{5(5^{n-1}-1)}{4}$

(4) $\sum_{i=1}^{n+1} 2^{i+1}$

初項 $a = 2^{1+1} = 2^2 = 4$, 公比 $r = 2$, 項数 $n+1$ です。

$S_{n+1} = \frac{4(1-2^{n+1})}{1-2} = \frac{4(1-2^{n+1})}{-1} = 4(2^{n+1}-1)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7^n - 1}{6}$

(2) $\frac{-3+3(-3)^n}{4}$

(3) $\frac{5(5^{n-1}-1)}{4}$

(4) $4(2^{n+1}-1)$