関数 $f(t) = (\sin t - \cos t)\sin 2t$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $x = \sin t - \cos t$ とおくとき、$f(t)$ を $x$ で表す。 (2) $t$ が $0 \le t \le \pi$ の範囲を動くとき、$f(t)$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(t) = (\sin t - \cos t)\sin 2t$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $x = \sin t - \cos t$ とおくとき、$f(t)$ を $x$ で表す。

(2) $t$ が $0 \le t \le \pi$ の範囲を動くとき、$f(t)$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(t)$ を $x$ で表す。

まず、$x = \sin t - \cos t$ の両辺を2乗すると、

$x^2 = (\sin t - \cos t)^2 = \sin^2 t - 2\sin t \cos t + \cos^2 t = 1 - 2\sin t \cos t$

ここで、$2\sin t \cos t = \sin 2t$ なので、

$x^2 = 1 - \sin 2t$

$\sin 2t = 1 - x^2$

したがって、$f(t) = (\sin t - \cos t)\sin 2t = x(1 - x^2) = x - x^3$

(2) $f(t)$ の最大値と最小値を求める。

$x = \sin t - \cos t = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin t - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos t) = \sqrt{2}(\sin t \cos\frac{\pi}{4} - \cos t \sin\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\sin(t - \frac{\pi}{4})$

$0 \le t \le \pi$ のとき、$-\frac{\pi}{4} \le t - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4}$ であるから、

$-\frac{1}{\sqrt{2}} \le \sin(t - \frac{\pi}{4}) \le 1$

よって、$-1 \le x \le \sqrt{2}$

$f(t) = x - x^3$ を $x$ の関数とみて、$g(x) = x - x^3$ とおく。

$g'(x) = 1 - 3x^2$

$g'(x) = 0$ となるのは、$x^2 = \frac{1}{3}$ より、$x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$

$x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき、$g(x) = \frac{1}{\sqrt{3}} - (\frac{1}{\sqrt{3}})^3 = \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$

$x = -1$ のとき、$g(x) = -1 - (-1)^3 = -1 + 1 = 0$

$x = \sqrt{2}$ のとき、$g(x) = \sqrt{2} - (\sqrt{2})^3 = \sqrt{2} - 2\sqrt{2} = -\sqrt{2}$

$x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$のとき、$g(x) = -\frac{1}{\sqrt{3}} - (-\frac{1}{\sqrt{3}})^3 = -\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3\sqrt{3}} = -\frac{2}{3\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{9}$

したがって、最大値は $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき、$\frac{2\sqrt{3}}{9}$

最小値は $x = \sqrt{2}$ のとき、$-\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $f(t) = x - x^3$

(2) 最大値：$\frac{2\sqrt{3}}{9}$、最小値：$-\sqrt{2}$