9個の文字 A, A, A, B, B, B, C, D, E を1列に並べる並べ方について、以下の問いに答えます。 (1) 全ての並べ方の総数を求めます。 (2) CとDが隣り合う並べ方の総数を求めます。 (3) CがDよりも左、かつEがDよりも右にある並べ方の総数を求めます。

1. 問題の内容

9個の文字 A, A, A, B, B, B, C, D, E を1列に並べる並べ方について、以下の問いに答えます。

(1) 全ての並べ方の総数を求めます。

(2) CとDが隣り合う並べ方の総数を求めます。

(3) CがDよりも左、かつEがDよりも右にある並べ方の総数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 全ての並べ方

9個の文字のうち、Aが3個、Bが3個、C, D, Eがそれぞれ1個ずつあります。したがって、並べ方の総数は、同じものを含む順列の公式を用いて計算します。

$\frac{9!}{3!3!1!1!1!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)} = 9 \times 8 \times 7 \times 5 \times 4 = 10080$

(2) CとDが隣り合う並べ方

CとDをひとまとめにして考えます。このとき、CとDの並び順はCDとDCの2通りあります。

CとDをひとまとめにしたものをXとすると、並べるものは A, A, A, B, B, B, E, X の8個です。この並べ方は $\frac{8!}{3!3!1!1!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)} = 8 \times 7 \times 5 \times 4 = 560$ 通り。

CとDの並び順が2通りあるので、CとDが隣り合う並べ方は $560 \times 2 = 1120$ 通り。

(3) CがDよりも左、かつEがDよりも右にある並べ方

C, D, E の並び方は全部で $3! = 6$ 通りありますが、C, D, E の順番が CDE となるのはそのうちの1通りだけです。

したがって、C, D, E の順番が特定される並べ方は全体の $\frac{1}{6}$ となります。

(1)で求めた全ての並べ方は10080通りなので、CがDよりも左にあり、かつEがDよりも右にある並べ方は $\frac{10080}{6} = 1680$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 10080通り

(2) 1120通り

(3) 1680通り