与えられた2変数多項式 $12x^2 + xy - 6y^2 - 31x - 2y + 20$ を因数分解します。

## 問題16 (1)

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $12x^2 + xy - 6y^2 - 31x - 2y + 20$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

与式を $x$ について整理すると、

$12x^2 + (y - 31)x + (-6y^2 - 2y + 20)$ となります。

定数項 $-6y^2 - 2y + 20$ を因数分解すると、

$-2(3y^2 + y - 10) = -2(3y - 5)(y + 2)$ となります。

ここで、因数分解の結果を $(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形と仮定し、

$ad = 12$

$ae + bd = 1$

$be = -6$

$af + cd = -31$

$bf + ce = -2$

$cf = 20$

となるように $a, b, c, d, e, f$ を探します。

$12x^2 + (y - 31)x - 2(3y - 5)(y + 2)$ となることから、

$(3x + ay + b)(4x + cy + d)$ の形を仮定してみます。

$(3x + 2y + p)(4x - 3y + q)$とおくと、

$3q + 4p = -31$

$-9y + 8y = y$ となります。

$2q - 3p = -2$

という式が立ちます。

これを解くと、

$3q + 4p = -31$

$2q - 3p = -2$

$6q + 8p = -62$

$6q - 9p = -6$

$17p = -56$となり、これは整数解を持ちません。

$(4x + ay + b)(3x + cy + d)$とおくと、

$(4x + 3y + p)(3x - 2y + q)$とすると、

$4q + 3p = -31$

$-8y + 9y = y$

$-8y - 2p + 3y + 3q = -2y$

$-2p + 3q = -2$

$3(-2p + 3q) = -6$

$2(4q + 3p) = -62$

$8q + 6p = -62$

$-6p + 9q = -6$

$17q = -68$

$q = -4$

$-2p - 12 = -2$

$-2p = 10$

$p = -5$

したがって、

$(4x + 3y - 5)(3x - 2y - 4)$

3. 最終的な答え

$(4x + 3y - 5)(3x - 2y - 4)$

## 問題16 (2)

1. 問題の内容

与えられた式 $x^3(y - z) + y^3(z - x) + z^3(x - y)$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

与式を整理します。

$x^3(y - z) + y^3(z - x) + z^3(x - y) = x^3y - x^3z + y^3z - y^3x + z^3x - z^3y$

この式は $x, y, z$ に関して交代式であるため、$(x - y)$, $(y - z)$, $(z - x)$ を因数に持つことが予想されます。

実際に因数分解を試みます。

$x^3y - x^3z + y^3z - y^3x + z^3x - z^3y = -(x - y)(y - z)(z - x)(x + y + z)$となります。

3. 最終的な答え

$-(x - y)(y - z)(z - x)(x + y + z)$

## 問題17

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 - 7x^2 + 9$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

$x^4 - 7x^2 + 9 = x^4 + 2x^2 + 9 - 9x^2 = (x^2 + 3)^2 - (3x)^2$

$= (x^2 + 3 - 3x)(x^2 + 3 + 3x) = (x^2 - 3x + 3)(x^2 + 3x + 3)$

3. 最終的な答え

$(x^2 - 3x + 3)(x^2 + 3x + 3)$