サイコロを振るゲームに関する問題です。ルールBに従って得点を計算します。 - ルールB(i): $k$回目に2度目の1の目が出たとき、得点は7点となる。 - ルールB(ii): ルールB(i)以外の場合は、$k$回目に出た目の数を得点とする。 6回目の得点が7点である確率と、6回目の得点の期待値を求めます。

1. 問題の内容

サイコロを振るゲームに関する問題です。ルールBに従って得点を計算します。

- ルールB(i): $k$回目に2度目の1の目が出たとき、得点は7点となる。

- ルールB(ii): ルールB(i)以外の場合は、$k$回目に出た目の数を得点とする。

6回目の得点が7点である確率と、6回目の得点の期待値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 6回目の得点が7点である確率を求める。

6回目の得点が7点になるのは、6回目に2度目の1の目が出る場合です。これは、5回目までに1が1回出ており、6回目に1が出る確率を計算する必要があります。

5回中1回1が出る確率は、二項分布に従います。

確率は ${}_5 \mathrm{C}_1 \times (\frac{1}{6})^1 \times (\frac{5}{6})^4$ です。

6回目に1が出る確率は $\frac{1}{6}$ です。

したがって、6回目の得点が7点である確率は ${}_5 \mathrm{C}_1 \times (\frac{1}{6})^1 \times (\frac{5}{6})^4 \times \frac{1}{6} = 5 \times (\frac{1}{6})^2 \times (\frac{5}{6})^4 = \frac{5^5}{6^6}$ です。

したがって、6回目の得点が7点である確率は $\frac{3125}{46656} = \frac{3125}{6^6}$ です。

問題文より，$\frac{5^5}{6^6} = \frac{5}{6} \times \frac{625}{6^5}$　なので、$\frac{625}{6^5}$ になります。

$\frac{5}{6^2} \cdot (\frac{5}{6})^4 \cdot {}_5 C_1 = \frac{5 \cdot 5^4 \cdot 5}{6^6} = \frac{5^6}{6^6} = \frac{15625}{46656}$

これは $\frac{15625}{46656} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3125}{46656} \cdot 6 = \frac{5}{6} \cdot \frac{3125}{6^5}$

よって，$\frac{3125}{6^5}$

(2) 6回目の得点の期待値を求める。

6回目の得点が7点となる確率は$\frac{5^5}{6^6}$です。

6回目の得点が1, 2, 3, 4, 5, 6となる確率を求めます。

$E(X) = \sum_{i=1}^{6} i \times P(X=i)$

6回目の得点の期待値は $\frac{7}{2} + \frac{5}{6} \times \frac{ヌ}{ネ}$ なので、他の方法で計算します。

$E(X) = 1 \times \frac{5}{6} + 2 \times \frac{5}{6} + ... + 6 \times \frac{5}{6} + 7 \times \frac{5^5}{6^6}$

6回目の得点の期待値は、

$\sum_{i=1}^6 i \cdot P(i) = 1 \cdot P(1) + 2 \cdot P(2) + 3 \cdot P(3) + 4 \cdot P(4) + 5 \cdot P(5) + 6 \cdot P(6) + 7 \cdot P(7)$

6回目の得点の期待値は $\frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$ です。

ただし、2度目の1の目が出た場合には7点になるので、

$\frac{7}{2} - 1 \times \frac{5^5}{6^6} + 7 \times \frac{5^5}{6^6} = \frac{7}{2} + 6 \times \frac{5^5}{6^6} = \frac{7}{2} + \frac{5}{6} \times \frac{5^4}{6^5} \times 6 = \frac{7}{2} + \frac{5}{6} \cdot \frac{3750}{6^5}$.

$\frac{7}{2} + \frac{3125 \times 6}{6^6} = \frac{7}{2} + \frac{18750}{46656} = \frac{7}{2} + \frac{3125}{7776}$

$\frac{7}{2} + \frac{5}{6} \cdot \frac{3125/5}{7776/6} = \frac{7}{2} + \frac{5}{6} \frac{625}{1296}$

$\frac{5^5}{6^5} \times 6$

3. 最終的な答え

6回目の得点が7点である確率は $\frac{3125}{6^5}$ です。

6回目の得点の期待値は $\frac{7}{2} + \frac{5}{6} \cdot \frac{3125 \times 6}{6^5 \times 5}$ です。

したがって、答えは以下のようになります。

ナ：3125

ニ：7776

ヌ：3750

ネ：7776