与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ の逆行列を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選ぶ必要があります。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ の逆行列を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選ぶ必要があります。

2. 解き方の手順

行列 $A$ の逆行列を求めるには、いくつかの方法があります。ここでは、余因子行列を用いた方法で計算してみましょう。

まず、$A$ の行列式 $|A|$ を計算します。

$|A| = 0(0\cdot0 - 1\cdot1) - 1(1\cdot0 - 1\cdot1) + 1(1\cdot1 - 0\cdot1) = 0 - (-1) + 1 = 2$

次に、余因子行列 $C$ を求めます。

$C_{11} = (0\cdot0 - 1\cdot1) = -1$

$C_{12} = -(1\cdot0 - 1\cdot1) = 1$

$C_{13} = (1\cdot1 - 0\cdot1) = 1$

$C_{21} = -(1\cdot0 - 1\cdot1) = 1$

$C_{22} = (0\cdot0 - 1\cdot1) = -1$

$C_{23} = -(0\cdot1 - 1\cdot1) = 1$

$C_{31} = (1\cdot1 - 0\cdot1) = 1$

$C_{32} = -(0\cdot1 - 1\cdot1) = 1$

$C_{33} = (0\cdot0 - 1\cdot1) = -1$

余因子行列 $C = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

次に、$C$ の転置行列 $C^T$ を求めます。

$C^T = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

最後に、逆行列 $A^{-1}$ は、$A^{-1} = \frac{1}{|A|} C^T$ で与えられます。

$A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 & -1/2 \end{pmatrix}$

選択肢の中から、計算結果と一致するものを探します。選択肢4が該当します。

$\frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

4. $\frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$