連立方程式 $x + y = 1$ $x^2 - xy - 2y^2 = 7$ を解きます。

## 問題 (3) の解答

1. 問題の内容

連立方程式

$x + y = 1$

$x^2 - xy - 2y^2 = 7$

を解きます。

2. 解き方の手順

まず、1つ目の式から $x$ を $y$ で表します。

$x = 1 - y$

これを2つ目の式に代入します。

$(1 - y)^2 - (1 - y)y - 2y^2 = 7$

展開して整理します。

$1 - 2y + y^2 - y + y^2 - 2y^2 = 7$

$-3y = 6$

$y = -2$

これを $x = 1 - y$ に代入します。

$x = 1 - (-2) = 3$

3. 最終的な答え

$x = 3$, $y = -2$

## 問題 (4) の解答

1. 問題の内容

連立方程式

$x + y = 2$

$x^2 - 2xy - 2y^2 = 0$

を解きます。

2. 解き方の手順

まず、1つ目の式から $x$ を $y$ で表します。

$x = 2 - y$

これを2つ目の式に代入します。

$(2 - y)^2 - 2(2 - y)y - 2y^2 = 0$

展開して整理します。

$4 - 4y + y^2 - 4y + 2y^2 - 2y^2 = 0$

$y^2 - 8y + 4 = 0$

この二次方程式を解の公式を用いて解きます。

$y = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)}$

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 16}}{2}$

$y = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2}$

$y = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2}$

$y = 4 \pm 2\sqrt{3}$

それぞれの $y$ の値に対して $x$ を計算します。

$y = 4 + 2\sqrt{3}$ のとき

$x = 2 - (4 + 2\sqrt{3}) = -2 - 2\sqrt{3}$

$y = 4 - 2\sqrt{3}$ のとき

$x = 2 - (4 - 2\sqrt{3}) = -2 + 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$x = -2 - 2\sqrt{3}$, $y = 4 + 2\sqrt{3}$

または

$x = -2 + 2\sqrt{3}$, $y = 4 - 2\sqrt{3}$