5つの文字C, L, E, A, Rを辞書式順序で並べたとき、81番目の文字列と、文字列CLEARが何番目かを求める問題。

1. 問題の内容

5つの文字C, L, E, A, Rを辞書式順序で並べたとき、81番目の文字列と、文字列CLEARが何番目かを求める問題。

2. 解き方の手順

(1) 81番目の文字列を求める。

まず、5つの文字を辞書式順に並べると A, C, E, L, R となる。

先頭の文字がAである順列の数は、残りの4文字の順列なので $4! = 24$ 個。

先頭の文字がCである順列の数も同様に $4! = 24$ 個。

先頭の文字がEである順列の数も同様に $4! = 24$ 個。

ここまでで、 $24 \times 3 = 72$ 個の順列が並んでいる。

81番目の文字列は、先頭がLである順列の中に含まれる。

先頭がLで、2番目の文字がAである順列の数は $3! = 6$ 個。

ここまでで $72 + 6 = 78$ 個の順列が並んでいる。

81番目の文字列は、先頭がLで、2番目の文字がCである順列の中に含まれる。

先頭がLで、2番目の文字がCで、3番目の文字がAである順列の数は $2! = 2$ 個。

ここまでで $78 + 2 = 80$ 個の順列が並んでいる。

したがって、81番目の文字列は、LCから始まる文字列で、次に辞書順で小さいものを探すと、LCRAEとなる。

(2) 文字列CLEARが何番目かを求める。

Aから始まる文字列の数は $4! = 24$ 個。

Cから始まる文字列で、2番目がAである文字列の数は $3! = 6$ 個。

Cから始まる文字列で、2番目がEである文字列の数は $3! = 6$ 個。

Cから始まる文字列で、2番目がLである文字列で、3番目がAである文字列の数は $2! = 2$ 個。

Cから始まる文字列で、2番目がLである文字列で、3番目がEである文字列の数は $2! = 2$ 個。

Cから始まる文字列で、2番目がLである文字列で、3番目がRである文字列の数は $2! = 2$ 個。

Cから始まる文字列で、2番目がLである文字列で、3番目がEである文字列で、4番目がAである文字列の数は $1! = 1$ 個。

Cから始まる文字列で、2番目がLである文字列で、3番目がEである文字列で、4番目がRである文字列の数は $1! = 1$ 個。

Cから始まる文字列で、2番目がLである文字列で、3番目がEである文字列で、4番目がAである文字列で、5番目がRである文字列で1個。これがCLEARである。

よって、CLEARの順番は

$24 + 6 + 6 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 45$ 番目である。

3. 最終的な答え

(1) 81番目の文字列: LCRAE

(2) CLEAR は 45番目