4人で1回だけじゃんけんをする。あいこになった場合も1回と数える。 (1) 1人が勝つ確率を求めよ。 (2) あいこになる確率を求めよ。 (3) 勝つ人数の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

4人で1回だけじゃんけんをする。あいこになった場合も1回と数える。

(1) 1人が勝つ確率を求めよ。

(2) あいこになる確率を求めよ。

(3) 勝つ人数の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 1人が勝つ確率を求める。

4人が出す手の組み合わせは $3^4 = 81$ 通り。

1人が勝つ場合、残りの3人はあいこか負け。

勝つ手がグーの場合、他の3人はチョキかあいこ。

勝つ手がチョキの場合、他の3人はパーかあいこ。

勝つ手がパーの場合、他の3人はグーかあいこ。

1人が勝つ手の選び方は3通り。

残りの3人が、勝った手に対してあいこか負けになる手の出し方は、$2^3 - 1 = 7$ 通りではない。3人全員があいこになる場合を除いている。しかし、この計算では「あいこ」は「勝ち」に含まれているため、あいこになる場合を除く必要はない。3人それぞれが、勝った手に対して「あいこ」か「負け」の手を出すので、$2^3 = 8$ 通り。

1人が勝つ場合、残りの3人はあいこになる場合はないため、$2^3 -1 =7$ではない。

1人が勝つ場合の数は ${}_4C_1 \times 3 \times 2^3 = 4 \times 3 \times 8 = 96$ となるのではない。1人が勝つ手の選び方が3通り。そして、負ける人の手の出し方が決まるので、残りの3人の出す手のパターンを考える必要はない。

例えば、Aがグーで勝つとすると、残りの3人はチョキを出すしかない。

1人が勝つ手の選び方が3通り。誰が勝つかは ${}_4 C_1 = 4$ 通り。したがって、1人が勝つ場合の数は $4 \times 1 = 4$ 通りではない。

${}_4 C_1 = 4$ (誰が勝つか)

${}_3 C_1 = 3$（何で勝つか）

なので、1人が勝つ場合は、$4 \times 1 = 4$ではない。

1人が勝つ確率は、$4 \times 1 = 4$ではない。

1人が勝つ場合、${}_4 C_1$通りが誰が勝つかの選び方。 勝つ手の出し方は3通り。残りの3人は、同じ手を出すしかない。したがって、1人が勝つ場合の数は ${}_4 C_1 \times 3 \times 1 = 12$ 通り。

よって、1人が勝つ確率は $\frac{12}{81} = \frac{4}{27}$。

(2) あいこになる確率を求める。

全員の手が同じ場合、3通り。

全員の手が異なる場合、グー、チョキ、パーが全て出る場合。この場合、${}_4 C_1$通りではない。

4人のうち誰か2人が同じ手を出し、残り2人が異なる手を出す場合。

グーチョキパーの3種類の手が全て出る場合を考える。

2人が同じ手で、残りの2人が異なる手の場合。同じ手を出す2人の選び方は ${}_4 C_2 = 6$通り。

同じ手を出す手は3通り。残りの2人は、異なる手を出すので、2通り。

あいこになるのは、全員が異なる手を出す場合、または2人が同じ手を出し、残りの2人が異なる手を出す場合。

あいこになるのは、全員が同じ手を出す場合と、全員が異なる手を出す場合が含まれる。

全員が同じ手を出す場合は3通り。

全員が異なる手を出す場合は、手が3種類しかないため、ありえない。

2人が同じ手を出し、残り2人も同じ手を出す場合。例えば、2人がグーで、2人がチョキを出す場合。

${}_4 C_2 \times {}_2 C_2 = 6$ 通り。手の組み合わせは3通り。

3人が同じ手を出し、残り1人が異なる手を出す場合。 ${}_4 C_3 \times 3 \times 2 = 24$

全員が異なる手を出す場合は、ありえない。

あいこになる確率は、$\frac{3 + 6 + 24}{81} = \frac{33}{81} = \frac{11}{27}$

4人全員の手が異なる場合とは？

4人の出す手がグー、チョキ、パーのいずれかであり、少なくとも2人は同じ手を出す必要がある。

全員が同じ手を出す場合は3通り。

2人が同じ手を出す場合：${}_4 C_2 = 6$通り。残り2人は別の手。残り2人の手の出し方は？

あいこになるのは、全員が同じ手を出す（3通り）か、グーチョキパーが混ざって出る場合。

グーチョキパーが混ざって出る場合、誰かがダブる必要がある。

ダブる人の選び方は ${}_4 C_2$通り。ダブる手の選び方は3通り。残りの2人は異なる手。

残りの2人の手の出し方は2通り。

したがって、$6 \times 3 \times 2 = 36$通り。

あいこになる場合の数は、$3 + 36 = 39$通り。

あいこになる確率は、$\frac{39}{81} = \frac{13}{27}$。

(3) 勝つ人数の期待値を求めよ。

勝つ人数は0人, 1人, 2人, 3人, 4人のいずれか。

0人の場合(あいこ)の確率は $\frac{13}{27}$。

1人が勝つ確率は$\frac{4}{27}$。

2人が勝つ確率は？

3人が勝つ確率は？

4人が勝つ確率は？

勝つ人数の期待値 = $\sum$(人数 × 確率)

4人が勝つことはありえない。

2人が勝つのは、2人が同じ手を出し、他の2人が違う手を出す場合。

3人が勝つのは、ありえない。

勝つ人数の期待値 = $0 \times \frac{13}{27} + 1 \times \frac{4}{27} + 2 \times p_2 + ...$

1. 最終的な答え

(1) 1人が勝つ確率: $\frac{4}{27}$

(2) あいこになる確率: $\frac{13}{27}$

(3) 勝つ人数の期待値: 解答不能