(1) $\theta$ が鋭角で、$\cos \theta = \frac{5}{7}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めます。 (2) $\tan \theta = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めます。ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とします。

1. 問題の内容

(1) $\theta$ が鋭角で、$\cos \theta = \frac{5}{7}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めます。

(2) $\tan \theta = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めます。ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とします。

2. 解き方の手順

(1) $\theta$ が鋭角なので、$\sin \theta > 0$、$\tan \theta > 0$ です。

三角関数の相互関係 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用して、$\sin \theta$ を求めます。

$\sin^2 \theta + \left(\frac{5}{7}\right)^2 = 1$

$\sin^2 \theta + \frac{25}{49} = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{25}{49} = \frac{49-25}{49} = \frac{24}{49}$

$\sin \theta = \sqrt{\frac{24}{49}} = \frac{\sqrt{24}}{7} = \frac{2\sqrt{6}}{7}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用して、$\tan \theta$ を求めます。

$\tan \theta = \frac{\frac{2\sqrt{6}}{7}}{\frac{5}{7}} = \frac{2\sqrt{6}}{7} \times \frac{7}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

(2) $\tan \theta = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ で、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ です。

$\tan \theta < 0$ なので、$90^\circ < \theta < 180^\circ$ となり、$\sin \theta > 0$、$\cos \theta < 0$ です。

三角関数の相互関係 $1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ を利用して、$\cos \theta$ を求めます。

$1 + \left(-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$1 + \frac{5}{4} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\frac{9}{4} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{4}{9}$

$\cos \theta = \pm \frac{2}{3}$

$\cos \theta < 0$ なので、$\cos \theta = -\frac{2}{3}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用して、$\sin \theta$ を求めます。

$\sin \theta = \tan \theta \times \cos \theta$

$\sin \theta = \left(-\frac{\sqrt{5}}{2}\right) \times \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{\sqrt{5}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta = \frac{2\sqrt{6}}{7}$, $\tan \theta = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

(2) $\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$, $\cos \theta = -\frac{2}{3}$