関数 $y = (2x^2 - 2x + 1)e^{-x^2}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。与えられた答えが正しいか検証します。

1. 問題の内容

関数 $y = (2x^2 - 2x + 1)e^{-x^2}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。与えられた答えが正しいか検証します。

2. 解き方の手順

積の微分法と合成関数の微分法を使います。

$y = uv$ のとき $y' = u'v + uv'$ です。

$u = 2x^2 - 2x + 1$ と $v = e^{-x^2}$ とおきます。

まず、$u$ の導関数 $u'$ を求めます。

$u' = \frac{d}{dx}(2x^2 - 2x + 1) = 4x - 2 = 2(2x - 1)$

次に、$v$ の導関数 $v'$ を求めます。

$v' = \frac{d}{dx}(e^{-x^2}) = e^{-x^2} \cdot \frac{d}{dx}(-x^2) = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}$

積の微分法により、

$y' = u'v + uv' = (4x - 2)e^{-x^2} + (2x^2 - 2x + 1)(-2x)e^{-x^2}$

$= (4x - 2)e^{-x^2} + (-4x^3 + 4x^2 - 2x)e^{-x^2}$

$= (4x - 2 - 4x^3 + 4x^2 - 2x)e^{-x^2}$

$= (-4x^3 + 4x^2 + 2x - 2)e^{-x^2}$

$= -2(2x^3 - 2x^2 - x + 1)e^{-x^2}$

$= -2[2x^2(x-1) - (x-1)]e^{-x^2}$

$= -2(x-1)(2x^2 - 1)e^{-x^2}$

3. 最終的な答え

$y' = -2(x-1)(2x^2 - 1)e^{-x^2}$

与えられた答えは正しいです。