平行四辺形ABCDにおいて、$AB = \sqrt{3}$, $AD = 5$, $\angle{BAD} = 30^\circ$のとき、対角線ACの長さを求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、$AB = \sqrt{3}$, $AD = 5$, $\angle{BAD} = 30^\circ$のとき、対角線ACの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いてACの長さを計算します。三角形ABDにおいて、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC}$

ここで、$AB = \sqrt{3}$, $AD = BC = 5$, $\angle BAD = 30^\circ$です。

平行四辺形の隣り合う角の和は180度なので、$\angle ABC = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$です。

したがって、

$AC^2 = (\sqrt{3})^2 + 5^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 5 \cdot \cos{150^\circ}$

$AC^2 = 3 + 25 - 10\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$AC^2 = 28 + 10\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$AC^2 = 28 + 10 \cdot \frac{3}{2}$

$AC^2 = 28 + 15$

$AC^2 = 43$

$AC = \sqrt{43}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{43}$