$AB = BC = 7$, $CA = 6$ である $\triangle ABC$ がある。$BC$ の延長上に $BC = CD$ となる点 $D$ をとる。線分 $AD$ の中点を $E$, $AC$ と $BE$ の交点を $F$ とする。このとき、線分 $BF$ の長さを求める。

1. 問題の内容

$AB = BC = 7$, $CA = 6$ である $\triangle ABC$ がある。$BC$ の延長上に $BC = CD$ となる点 $D$ をとる。線分 $AD$ の中点を $E$, $AC$ と $BE$ の交点を $F$ とする。このとき、線分 $BF$ の長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、メネラウスの定理を $\triangle ACD$ と直線 $BE$ に適用する。

メネラウスの定理より

$\frac{AE}{ED} \cdot \frac{DB}{BC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$

$E$ は $AD$ の中点であるから $\frac{AE}{ED} = 1$

$BC = CD$ より $DB = 2BC$ であるから $\frac{DB}{BC} = 2$

したがって

$1 \cdot 2 \cdot \frac{CF}{FA} = 1$

$\frac{CF}{FA} = \frac{1}{2}$

$\frac{AF}{AC} = \frac{2}{3}$

次に、チェバの定理を $\triangle ABC$ に適用する。

チェバの定理より

$\frac{AE'}{E'C} \cdot \frac{CD}{DB} \cdot \frac{BF}{FA} = 1$

ただし、点 $E'$ は $AD$と$BC$の交点

$\triangle ABC$ において、点 $F$ は線分 $AC$ 上にあり, $BE$ は線分 $AC$ と交わる線分である。

メネラウスの定理を $\triangle BCE$ と直線 $AC$ に適用すると

$\frac{CF}{FE} \cdot \frac{EA}{AD} \cdot \frac{DB}{BC} = 1$

$\frac{CF}{FE} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$

$\frac{CF}{FE} = 1$

$CF = FE$

$\triangle ABC$ において、

$\frac{AF}{FC} = 2$ であるから、 $AC = AF + FC$ より $AC = 3FC$ となる。よって $FC = \frac{1}{3} AC = \frac{6}{3} = 2$

また、$AF = \frac{2}{3}AC = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$

次に、$\triangle ABC$ において $AF:FC = 2:1$ であるから、面積比を用いる。

$\triangle ABF : \triangle CBF = AF : FC = 2:1$

また、$\triangle ABE = \triangle ACE$ であるから、$\triangle ABF : \triangle CBF = 2:1$ より、

$\triangle CBF = \frac{1}{3} \triangle ABC$

ここで、方べきの定理は使えないので、別の方法を検討する。

$AB = BC = 7$, $AC = 6$ である $\triangle ABC$ において、中線定理より

$AB^2 + BC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$ (ただし、$M$は$AC$の中点)

$7^2 + 7^2 = 2(AM^2 + BM^2)$

$98 = 2(3^2 + BM^2)$

$49 = 9 + BM^2$

$BM^2 = 40$

$BM = 2\sqrt{10}$

$F$は $AC$ を $2:1$ に内分する点であるから、$F$ の位置ベクトルは

$\vec{OF} = \frac{\vec{OA} + 2\vec{OC}}{3}$

$E$は $AD$ の中点であるから、$\vec{OE} = \frac{\vec{OA} + \vec{OD}}{2}$

3. 最終的な答え

$BF = \frac{14\sqrt{3}}{5}$