三角形ABCにおいて、$AB=BC=7$, $CA=6$である。辺BCの延長上に、$BC=CD$となる点Dをとる。線分ADの中点をEとし、線分ACとBEの交点をFとする。このとき、線分BFの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=BC=7$, $CA=6$である。辺BCの延長上に、$BC=CD$となる点Dをとる。線分ADの中点をEとし、線分ACとBEの交点をFとする。このとき、線分BFの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、メネラウスの定理を三角形ACDと直線BEに適用する。

$\frac{CB}{BD} \cdot \frac{DE}{EA} \cdot \frac{AF}{FC} = 1$

条件より、$CB=7$, $BD=BC+CD=7+7=14$, $DE=EA$ (EはADの中点)なので、$DE/EA=1$である。したがって、

$\frac{7}{14} \cdot 1 \cdot \frac{AF}{FC} = 1$

$\frac{AF}{FC} = 2$

$AF:FC = 2:1$

よって、$AF = \frac{2}{3}AC = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$

次に、三角形ABCと直線BEにチェバの定理を適用する。

$\frac{AF}{FC} \cdot \frac{CB}{BD} \cdot \frac{DN}{NA} = 1$

ただし、Nは直線ADとBCの交点です。上記の式に、$AF/FC=2$, $CB/BD=7/14=1/2$, $AD/DE=2$を代入して、解いてきます。

これは意味がありません。

三角形ABCと直線BEについて、メネラウスの定理を適用すると、

$\frac{AF}{FC} \cdot \frac{CB}{BE} \cdot \frac{EO}{OA} = 1$ となります。

ここで、$AF:FC = 2:1$でした。$AC = 6$なので、$AF = 4$となります。

次に、三角形ACDにおいて、点EはADの中点であり、点FはAC上の点である。BEとACの交点がFなので、三角形ACDと線BEについてメネラウスの定理を適用します。すると、

$\frac{CB}{BD}\cdot \frac{DE}{EA}\cdot \frac{AF}{FC}=1$

$\frac{7}{14}\cdot 1 \cdot \frac{AF}{FC}=1$

$\frac{AF}{FC}=2$ となる。したがって、$AF:FC=2:1$なので、$AF= \frac{2}{3}AC= \frac{2}{3}\times 6=4$

次に、三角形BCEにおいて、点FはAC上の点です。線分AC上に点Fがあり、$AF:FC=2:1$であることから、三角形ABFと三角形BCFの面積比は、$AF:FC=2:1$となる。

ここで、角の二等分線の定理を思い出します。

もしBEが角ABCの二等分線であれば、$AB:BC = AF:FC$が成立します。

しかし、$AB:BC = 7:7 = 1$に対して、$AF:FC = 2:1$なので、BEは角ABCの二等分線ではありません。

スチュワートの定理を用いる。三角形ABCにおいて、AからBCに下ろした中線をAMとすると、$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$が成立する。

三角形ABCに余弦定理を用いる。$\cos C = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2AC \cdot BC} = \frac{6^2 + 7^2 - 7^2}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{36}{84} = \frac{3}{7}$

三角形BCFについて余弦定理を考える。まず、角BCF=角Cであるため、cos C =3/7であることがわかっている。また、BC=7, CF=AC/3 = 6/3=2であることがわかっている。したがって、$BF^2 = BC^2 + CF^2 - 2\cdot BC\cdot CF \cdot \cos C = 7^2 + 2^2 - 2\cdot 7\cdot 2 \cdot (3/7) = 49+4-12 = 41$

したがって、$BF=\sqrt{41}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{41}$