$\triangle ABC$ があり、$AB=BC=7$, $CA=6$ である。$BC$ の延長上に $BC=CD$ となる点 $D$ をとる。線分 $AD$ の中点を $E$, $AC$ と $BE$ の交点を $F$ とする。このとき、線分 $BF$ の長さを求める。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ があり、$AB=BC=7$, $CA=6$ である。$BC$ の延長上に $BC=CD$ となる点 $D$ をとる。線分 $AD$ の中点を $E$, $AC$ と $BE$ の交点を $F$ とする。このとき、線分 $BF$ の長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、$BC=CD=7$である。$E$ は $AD$ の中点なので、$AE=ED$ である。

メネラウスの定理を $\triangle ACD$ と直線 $BE$ に適用すると、

$$\frac{CB}{BD} \cdot \frac{DE}{EA} \cdot \frac{AF}{FC} = 1$$

$$\frac{7}{14} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{AF}{FC} = 1$$

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{AF}{FC} = 1$$

$$\frac{AF}{FC} = 2$$

したがって、$AF:FC = 2:1$ である。つまり、$F$ は線分 $AC$ を $2:1$ に内分する点である。

次に、チェバの定理を $\triangle ABC$ に適用すると、

$$\frac{AE}{ED}$$

は使えないので、$\triangle BCE$でメネラウスの定理を使うことはできない。

$F$ が $\triangle ABC$ の内部にあることを利用し、$BF$ の長さを求める。

次に、$AC$ を底辺とする $\triangle ABF$ と $\triangle CBF$ の面積比を考える。$AF:FC = 2:1$ より、$\triangle ABF : \triangle CBF = 2:1$ である。

$BF$ は $\triangle ABC$ の中線ではないため、中線定理は使えない。

点 $A$ から $BE$ に下ろした垂線の足を $H$ とし、点 $C$ から $BE$ に下ろした垂線の足を $I$ とする。

$\triangle ABF$ の面積は $\frac{1}{2} \cdot BF \cdot AH$, $\triangle CBF$ の面積は $\frac{1}{2} \cdot BF \cdot CI$ なので、$\frac{AH}{CI} = 2$ である。

$\triangle ADE$ において、$BE$は中線になっているため、中線定理は使えない。

$\triangle ADC$ において、$AE=ED$より、$E$は$AD$の中点であり、$BE$は中線である。

$\triangle ABC$において、$AB=BC=7$なので、$\triangle ABC$は二等辺三角形である。$A$から$BC$に垂線を下ろし、その足を$M$とする。すると、$BM = MC = 3$ である。三平方の定理より、$AM = \sqrt{7^2-3^2} = \sqrt{49-9} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ である。

余弦定理より、$\cos C = \frac{BC^2 + CA^2 - AB^2}{2 \cdot BC \cdot CA} = \frac{7^2+6^2-7^2}{2\cdot 7 \cdot 6} = \frac{36}{84} = \frac{3}{7}$ である。

$BF$の長さを求める。$\triangle BCF$において、余弦定理より、

$BF^2 = BC^2 + CF^2 - 2\cdot BC \cdot CF \cdot \cos C = 7^2 + 2^2 - 2\cdot 7 \cdot 2 \cdot \frac{3}{7} = 49+4 - 12 = 41$

$BF = \sqrt{41}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{41}$