整数 $d$ を公差とする等差数列 $\{a_n\}$ がある。この数列の初項は $-4200$ である。初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $n=81$ で最小となるとき、$d$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

整数 $d$ を公差とする等差数列 $\{a_n\}$ がある。この数列の初項は $-4200$ である。初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $n=81$ で最小となるとき、$d$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

等差数列の和 $S_n$ が最小となるのは、数列の項が負の数から正の数に変わる直前である。つまり、$a_{81} \le 0$ かつ $a_{82} \ge 0$ となる必要がある。

等差数列の一般項 $a_n$ は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で表される。ここで、$a_1 = -4200$ である。

したがって、$a_{81} = -4200 + (81-1)d = -4200 + 80d \le 0$ と $a_{82} = -4200 + (82-1)d = -4200 + 81d \ge 0$ という不等式が得られる。

まず、$a_{81} \le 0$ より、

$-4200 + 80d \le 0$

$80d \le 4200$

$d \le \frac{4200}{80} = \frac{420}{8} = \frac{210}{4} = \frac{105}{2} = 52.5$

次に、$a_{82} \ge 0$ より、

$-4200 + 81d \ge 0$

$81d \ge 4200$

$d \ge \frac{4200}{81} = \frac{1400}{27} \approx 51.85$

$d$ は整数なので、$51.85 \le d \le 52.5$ を満たす整数 $d$ は $52$ である。

3. 最終的な答え

$d = 52$