与えられた3つの極限に関する問題を解く。 (1) $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{\sqrt{a_n+1}-1} = 3$ のとき、$\lim_{n \to \infty} a_n$ を求める。 (2) $\lim_{n \to \infty} (3n-2)a_n = 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} a_n$ と $\lim_{n \to \infty} na_n$ を求める。 (3) 2次方程式 $x^2 - nx + n + \sqrt{n^2+n} = 0$ の2つの解を $\alpha_n, \beta_n$ とするとき、$\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{\alpha_n} + \frac{1}{\beta_n})$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた3つの極限に関する問題を解く。

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{\sqrt{a_n+1}-1} = 3$ のとき、$\lim_{n \to \infty} a_n$ を求める。

(2) $\lim_{n \to \infty} (3n-2)a_n = 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} a_n$ と $\lim_{n \to \infty} na_n$ を求める。

(3) 2次方程式 $x^2 - nx + n + \sqrt{n^2+n} = 0$ の2つの解を $\alpha_n, \beta_n$ とするとき、$\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{\alpha_n} + \frac{1}{\beta_n})$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{\sqrt{a_n+1}-1} = 3$ において、$\lim_{n \to \infty} a_n = A$ とおく。分母分子に $\sqrt{a_n+1}+1$ をかけると、

$\frac{a_n (\sqrt{a_n+1}+1)}{a_n+1-1} = \sqrt{a_n+1}+1$

したがって、$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{a_n+1}+1) = 3$ となる。

$\sqrt{A+1}+1 = 3$

$\sqrt{A+1} = 2$

$A+1 = 4$

$A = 3$

(2) $\lim_{n \to \infty} (3n-2)a_n = 1$ より、$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ である。

$\lim_{n \to \infty} (3n-2)a_n = \lim_{n \to \infty} n(3-\frac{2}{n})a_n = 1$

$\lim_{n \to \infty} na_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3-\frac{2}{n}} = \frac{1}{3}$

(3) 2次方程式 $x^2 - nx + n + \sqrt{n^2+n} = 0$ の解 $\alpha_n, \beta_n$ について、解と係数の関係より、

$\alpha_n + \beta_n = n$

$\alpha_n \beta_n = n + \sqrt{n^2+n}$

$\frac{1}{\alpha_n} + \frac{1}{\beta_n} = \frac{\alpha_n + \beta_n}{\alpha_n \beta_n} = \frac{n}{n + \sqrt{n^2+n}} = \frac{1}{1 + \sqrt{1+\frac{1}{n}}}$

$\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{\alpha_n} + \frac{1}{\beta_n}) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \sqrt{1+\frac{1}{n}}} = \frac{1}{1+\sqrt{1+0}} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{n \to \infty} a_n = 3$

(2) $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$, $\lim_{n \to \infty} na_n = \frac{1}{3}$

(3) $\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{\alpha_n} + \frac{1}{\beta_n}) = \frac{1}{2}$