連立方程式 $\begin{cases} 3x-y=1 \\ ax+by=19 \end{cases}$ の解が $x=2, y=5$ であるとき、 $a, b$ が1桁の自然数であるような $a, b$ の組を全て求める。

1. 問題の内容

連立方程式

$\begin{cases}

3x-y=1 \\

ax+by=19

\end{cases}$

の解が $x=2, y=5$ であるとき、 $a, b$ が1桁の自然数であるような $a, b$ の組を全て求める。

2. 解き方の手順

まず、連立方程式の一つの式である $3x-y=1$ に $x=2, y=5$ を代入すると、

$3 \cdot 2 - 5 = 6-5 = 1$ となり、与えられた解が正しいことが確認できます。

次に、もう一つの式である $ax+by=19$ に $x=2, y=5$ を代入すると、

$2a + 5b = 19$

となります。

$a, b$ は1桁の自然数なので、$a, b$ は $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ のいずれかの値をとります。

$2a = 19 - 5b$ より、$2a$ は偶数なので、$19 - 5b$ も偶数でなければなりません。

$19$ は奇数なので、$5b$ が奇数になる必要があります。

$5b$ が奇数になるのは、$b$ が奇数の場合です。したがって、$b$ は $1, 3, 5, 7, 9$ のいずれかの値をとります。

* $b=1$ のとき、$2a + 5(1) = 19$ より $2a = 14$ なので $a=7$。

* $b=3$ のとき、$2a + 5(3) = 19$ より $2a = 4$ なので $a=2$。

* $b=5$ のとき、$2a + 5(5) = 19$ より $2a = -6$ なので $a=-3$。これは自然数ではないので不適。

* $b=7$ のとき、$2a + 5(7) = 19$ より $2a = -16$ なので $a=-8$。これは自然数ではないので不適。

* $b=9$ のとき、$2a + 5(9) = 19$ より $2a = -26$ なので $a=-13$。これは自然数ではないので不適。

したがって、$a$ と $b$ が共に1桁の自然数となるのは $(a, b) = (7, 1), (2, 3)$ のときです。

3. 最終的な答え

$(a, b) = (7, 1), (2, 3)$